ПОЛНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ПЕРИОДОМ ДВА

В этой статье представлено всестороннее исследование классификации квадратичных иррациональных чисел со вторым периодом в их представлениях непрерывной дроби. Основываясь на фундаментальных результатах теории чисел, особенно в контексте цепных дробей и уравнения Пелла, исследование раскрывает сложные взаимосвязи между квадратичными иррациональными числами и их периодическими структурами. Основным объектом исследования является √N и свойства его цепных дробей. Хотя хорошо известно, что непрерывные дроби √N являются периодическими, а периодическая часть является палиндромом, распределение длин периодических частей далеко не полное. Нашей главной целью будет сосредоточиться на втором периоде и предоставить полную характеристику. Доказанные теоремы исследования разъясняют условия, при которых длина периода равна ровно двум, и дают представление о лежащих в основе алгебраических особенностях. Кроме того, он углубляется, предлагая численный анализ и иллюстрации, демонстрирующие распределение длин периодов среди квадратичных иррациональных чисел. Это исследование открывает новые пути для будущих исследований квадратичных иррациональных чисел и того, как они отображаются в виде непрерывных дробей.

1. Jones W.B., Thron W.J. Numerical stability in evaluating continued fractions. Mathematics of Computation, 1974, vol. 28, no. 127, pp. 795–810.

2. Williams H.C. Continued fractions and number-theoretic computations. The Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1985, pp. 621–655.

3. Cuyt A.A.M. et al. Handbook of continued fractions for special functions. Springer Science & Business Media, 2008.

4. Lorentzen L., Waadeland H. Continued Fractions: Convergence Theory. Atlantis Press, 2008, vol. 1.

5. Einsiedler M. Ergodic theory. Springer, 2011.

6. Halter-Koch F. Quadratic irrationals: An introduction to classical number theory. – CRC press, 2013.

7. Gawron F., Kobos T. On length of the period of the continued fraction of nd. International Journal of Number Theory, 2023, pp. 1–11.

8. Van Tuyl A. L. An Introduction to the Theory and Applications of Continued Fractions, 1996.

9. Olds C. D. Continued Fractions Random House. New York, 1963.

10. Schlapp R. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Oxford University Press, 1973), xvii+ 1238 pp., £ 12. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1973, vol. 18, no. 4, pp. 340–341.

11. Moore C. G. An Introduction to Continued Fractions, 1964.

12. De Lagrange J. L. Recherches d’arithmétique. Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin, p. 1773.

13. Chowla P., Chowla S. Problems on periodic simple continued fractions. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1972, vol. 69, no. 12, pp. 3745–3745.

14. Friesen C. On continued fractions of given period. Proceedings of the American Mathematical Society, 1988, vol. 103, no. 1, pp. 9–14.

15. Halter-Koch F. Continued fractions of given symmetric period. Fibonacci Quart.,1991, vol. 29, no. 4, pp. 298–303.

16. Řada H., Starosta Š. Bounds on the period of the continued fraction after a möbius transformation. Journal of Number Theory, 2020, vol. 212, pp. 122–172.

17. Acewicz M., Pąk K. Pell’s equation. Formalized Mathematics, 2017, vol. 25, no. 3, pp. 197–204.