КВАНТТЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРГЕ ҚОЛДАНЫЛАТЫН ИНВАРИАНТТЫ КӨПМҮШЕЛЕР

Кванттық ақпарат теориясында SLOCC (стохастикалық жергілікті операциялар және классикалық байланыс) контексінде d кубиттер (немесе кудиттер) арқылы шиеленіскен күйлердің күрделілігін түсіну кванттық жүйелер туралы білімімізді алға жылжыту үшін маңызды. Бұл күрделілік жиі жергілікті симметрия топтары арқылы күйлерді жіктеу арқылы талданады. Нәтижесінде алынған сыныптарды шиеленістіктің өлшемі болатын инварианттық полиномдар арқылы ажыратуға болады. Бұл мақалада шиеленіскен кванттық күйлердің SLOCC сыныптарын сипаттаудың тиімділігін айтарлықтай арттыратын ең кіші дәрежелі инварианттық полиномдарды алудың жаңа әдісі ұсынылған. Біздің әдісіміз бұл сыныптарды анықтау үрдісін жеңілдетіп қана қоймай, сонымен қатар күрделі кванттық жүйелердің шиеленіс қасиеттерін талдауға арналған сенімді құралды ұсынады. Арнайы жағдайларда минималды дәреже инварианттарын шығарып, біздің тәсіліміздің нақты сценарийлердегі тиімділігін ұсынуды тәжірбие жүзінде қолданамыз. Бұл жетістік кванттық ақпарат теориясындағы түрлі үрдістерді жеңілдету әлеуетіне ие, шиеленіскен күйлерді түсіну, жіктеу және тиімді пайдалану оңайырақ және тиімдірек болады.

1. Dür W., Vidal G. & Cirac J.I. (2000). Three qubits can be entangled in two inequivalent ways. Physical Review A, 62(6), 062314.

2. J.-G. Luque and Jean-Yves Thibon. (2003) Polynomial invariants of four qubits. Physical Review A, vol. 67, no.

3. https://doi.org/10.1103/physreva.67.042303. 3 J.-G. Luque and Jean-Yves Thibon. (2005) Algebraic invariants of five qubits. Journal of physics, vol. 39, no. 2, pp. 371–377. https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/2/007.

4. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M. and Horodecki K. (2009) Quantum entanglement," Reviews of Modern Physics, vol. 81, no. 2, pp. 865–942. https://doi.org/10.1103/revmodphys.81.865.

5. Nielsen M.A. and Chuang I.L. (2019) Quantum computation and quantum information. Cambridge Cambridge University Press.

6. Hillery M., Buâek V. & Berthiaume A. (1999) Quantum secret sharing. Physical Review A, 59(3), 1829.

7. Miyake A. (2003) Classification of multipartite entangled states by multidimensional determinants, Physical Review A, vol. 67, no. 1. https://doi.org/10.1103/physreva.67.012108.

8. Bürgisser P. and C. Ikenmeyer. (2017) Fundamental invariants of orbit closures. Journal of Algebra, vol. 477, pp. 390–434. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.12.035.

9. Bürgisser P., Garg A., OliveiraR., Walter M. and Wigderson A. (2018) Alternating Minimization, Scaling Algorithms, and the Null-Cone Problem from Invariant Theory. In 9th Innovations in Theoretical Computer Science Conference (ITCS 2018). Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), vol. 94, pp. 24:1–24:20, Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. https://doi.org/10.4230/LIPIcs.ITCS.2018.24.

10. Amanov A. and Yeliussizov D. (2022) Fundamental Invariants of Tensors, Latin Hypercubes, and Rectangular Kronecker Coefficients, International Mathematics Research Notices, vol. 2023, no. 20, pp. 17552–17599. https://doi.org/10.1093/imrn/rnac311.

11. Bürgisser P., Garg A., Oliveira R., Walter M. and Wigderson A. (2018) Alternating Minimization, Scaling Algorithms, and the Null-Cone Problem from Invariant Theory. In 9th Innovations in Theoretical Computer Science Conference (ITCS 2018). Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), vol. 94, pp. 24:1–24:20, Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik. https://doi.org/10.4230/LIPIcs.ITCS.2018.24

12. Blinder S.M. (2022) Three-Qubit W-States on a Quantum Computer, Wolfram Demonstrations Project. [Online]. Available: http://demonstrations.wolfram.com/ThreeQubitWStatesOnAQuantumC omputer/ (accessed: Jun. 14, 2024).

13. Cervera-Lierta A., Gasull A., Latorre J.I. and Sierra G. (2018) Multipartite entanglement in spin chains and the hyperdeterminant. Journal of physics. A, Mathematical and theoretical (Print), vol. 51, no. 50, pp. 505301–505301. https://doi.org/10.1088/1751-8121/aaee1f.

14. Viehmann O., Eltschka C. and Siewert J. (2011) Polynomial invariants for discrimination and classification of four-qubit entanglement. Physical Review A, vol. 83, no. 5. https://doi.org/10.1103/physreva.83.052330.

15. Cayley A. (1844) On the theory of determinants. Pitt Press. 16 Cayley A. (1845) On the theory of linear transformations. E. Johnson.

16. Gelfand I.M., Kapranov M.M. and Zelevinsky A.V. (1992) Hyperdeterminants, Advances in Mathematics, vol. 96, no. 2, pp. 226–263. https://doi.org/10.1016/0001-8708(92)90056-q.

17. SageMath Mathematical Software System – Sage, SageMath Mathematical Software System. http://www.sagemath.org (accessed Apr. 04, 2024).

18. Maria C. (2021) Parameterized Complexity of Quantum Invariants, Proceedings of the 37th International Symposium on Computational Geometry (SoCG 2021). https://doi.org/10.4230/LIPIcs. SoCG.2021.53.

19. Haddadin W. (2021) Invariant polynomials and machine learning. arXiv preprint arXiv:2104.12733.

20. Liu J. (2019) Block distance invariant method for monoterm canonicalization of Riemann tensor polynomials, ACM Communications in Computer Algebra, vol. 53, pp. 134–137. https://doi.org/10.1145/3377006.3377019.

21. Avohou R.C., Geloun J.B. & Dub N. (2020) On the counting of O(N) tensor invariants. Advances in Theoretical and Mathematical Physics, vol. 24, no. 4. https://doi.org/10.4310/ATMP.2020.v24.n4.a1.

22. Geloun J.B. (2020) On the counting tensor model observables as U(N) and O(N) classical invariants, Proceedings of Corfu Summer Institute 2019 "School and Workshops on Elementary Particle Physics and Gravity" - PoS(CORFU2019). https://doi.org/10.22323/1.376.0175.

23. Grochow J.A. & Qiao Y. (2021) On the Complexity of Isomorphism Problems for Tensors, Groups, and Polynomials I: Tensor Isomorphism-Completeness, Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), vol. 2021, pp. 31:1–31:19. https://doi.org/10.4230/LIPIcs.ITCS.2021.31.

24. Hrushovski E., Ouaknine J., Pouly A. & Worrell J. (2023) On Strongest Algebraic Program Invariants. Journal of the ACM, vol. 70, pp. 1–22. https://doi.org/10.1145/3614319.

25. Raith F., Blecha C., Nagel T., Parisio F., Kolditz O., Günther F., Stommel M. & Scheuermann G. (2019) Tensor Field Visualization using Fiber Surfaces of Invariant Space, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, vol. 25, pp. 1122–1131. https://doi.org/10.1109/TVCG.2018.2864846.

26. Hillar C.J. & Lim L.H. (2013). Most tensor problems are NP-hard. Journal of the ACM (JACM), 60(6), pp. 1–39.