ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ–УОЛША ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

В данной статье рассматриваются оценки коэффициентов Фурье–Уолша для функций двух переменных, обладающих ограниченной вариацией. Исследование направлено на получение верхних оценок модулей коэффициентов ряда Фурье–Уолша, что позволяет анализировать сходимость и аппроксимационные свойства соответствующих рядов. Основное внимание уделено функциям, заданным на единичном квадрате, и имеющим ограниченную вариацию по каждой переменной и в совокупности. Приводятся оценки, зависящие от индексов коэффициентов и характеристик вариации функции. В статье получены новые верхние оценки модулей коэффициентов ряда Фурье–Уолша для функций двух переменных с ограниченной вариацией. В отличие от классических результатов в работе получены новые верхние оценки коэффициентов Фурье–Уолша для функций двух переменных с учетом как вариации по каждой переменной, так и их совместной вариации. Такой подход позволяет более точно описывать поведение коэффициентов и частичных сумм рядов, что важно для исследования абсолютной сходимости и аппроксимационных свойств в многомерном случае. Актуальность работы обусловлена современными направлениями развития теории ортогональных рядов и их прикладными аспектами. Ряды Фурье–Уолша широко применяются в цифровой обработке сигналов, теории сжатия и восстановления данных, а также при анализе дискретных и двоичных структур, что в последние годы приобретает особую значимость в связи с развитием цифровых технологий и вычислительных методов.

1. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. – М.: Наука, 1987.

2. Ахажанов Т.Б. Вариационный модуль непрерывности и коэффициенты двойных рядов ФурьеХаара // Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева. – 2010. – № 6. – С. 57–62. https://doi.org/10.31489/2023M4/21-29.

3. Akhazhanov T., Matin D., Baituyakova Z. The approximation of functions of several variables with bounded p-fluctuation by polynomials in the Walsh system // Mathematics. – 2024. – Vol. 12, iss. 24. https:// doi.org/ 10.3390/math12243899.

4. Волосивец С.С. Обобщенное кратное мультипликативное преобразование Фурье и оценки интегральных модулей непрерывности // Математические заметки. – 2024. – Т. 115. – № 4. – С. 578–588. https://doi.org/10.1134/S0001434624030246.

5. Волосивец С.С., Голубов Б.И. Весовая интегрируемость кратных мультипликативных преобразований Фурье // Математические заметки. – 2022. – Т. 111. – № 3. – С. 365–374. https://doi.org/10.4213/mzm13257.

6. Ghodadra B. L. Applications of Hölder’s and Jensen’s inequalities in studying the β-absolute convergence of Vilenkin–Fourier series // Mathematical Inequalities & Applications. – 2014. – Vol. 17. – No. 2. – P. 749–760. https://doi.org/10.7153/mia-17-55.

7. Goginava U. Matrix summability of Walsh–Fourier series // Mathematics. – 2022. – Vol. 10. – No. 14. – Art. 2458.

8. Nagy K. Restricted convergence of two-dimensional Nörlund means of Walsh–Fourier series // European Journal of Mathematics. – 2025. – Vol. 11. – Art. 28.

9. Temlyakov V.N. Moduli of smoothness and approximation by Walsh–Fourier means in multidimensional settings // Journal of Approximation Theory. – 2024. – Vol. 334. – Art. 107982. https://doi.org/: 10.1016/j.jat.2024.107982.

10. Виленкин Н.Я., Рубинштейн А.И. Одна теорема С.Б. Стечкина об абсолютной сходимости и ряды по системам характеров нуль-мерных абелевых групп // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1975. – № 9. – С. 3–9.

11. Yoneda K. On absolute convergence of Walsh–Fourier series // Mathematical Journal of Japan. – 1973. – Vol. 18. – No. 1. – P. 71–78.

12. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.

13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – Cambridge: Cambridge University Press, 1959.