ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ–УОЛША ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

В данной статье рассматриваются оценки коэффициентов Фурье–Уолша для функций двух переменных, обладающих ограниченной вариацией. Исследование направлено на получение верхних оценок модулей коэффициентов ряда Фурье–Уолша, что позволяет анализировать сходимость и аппроксимационные свойства соответствующих рядов. Основное внимание уделено функциям, заданным на единичном квадрате, и имеющим ограниченную вариацию по каждой переменной и в совокупности. Приводятся оценки, зависящие от индексов коэффициентов и характеристик вариации функции. В статье получены новые верхние оценки модулей коэффициентов ряда Фурье–Уолша для функций двух переменных с ограниченной вариацией. В отличие от классических результатов в работе получены новые верхние оценки коэффициентов Фурье–Уолша для функций двух переменных с учетом как вариации по каждой переменной, так и их совместной вариации. Такой подход позволяет более точно описывать поведение коэффициентов и частичных сумм рядов, что важно для исследования абсолютной сходимости и аппроксимационных свойств в многомерном случае. Актуальность работы обусловлена современными направлениями развития теории ортогональных рядов и их прикладными аспектами. Ряды Фурье–Уолша широко применяются в цифровой обработке сигналов, теории сжатия и восстановления данных, а также при анализе дискретных и двоичных структур, что в последние годы приобретает особую значимость в связи с развитием цифровых технологий и вычислительных методов.

1. Golubov, B.I., Efimov, A.V., Skvortsov, V.A. Walsh series and transformations: theory and applications (Moscow: Nauka, 1987), 343 p. (in Russian).

2. Akhazhanov, T.B. Variation modulus of continuity and coefficients of double Haar–Fourier series. Bulletin of the L.N. Gumilyov Eurasian National University, no. 6, 57–62 (2010). https://doi.org/10.31489/2023M4/21-29 (in Russian).

3. Akhazhanov, T., Matin, D., Baituyakova, Z. The approximation of functions of several variables with bounded p-fluctuation by polynomials in the Walsh system. Mathematics, 12 (24), (2024). https://doi.org/10.3390/math12243899

4. Volosivets, S.S. Generalized multiple multiplicative Fourier transform and estimates of integral moduli of continuity. Mathematical Notes, 115 (4), 528–537 (2024). https://doi.org/10.1134/S0001434624030246 (in Russian).

5. Volosivets, S.S., Golubov, B.I. Weighted integrability of multiple multiplicative Fourier transforms. Mathematical Notes, 111 (3), 364–372 (2022). https://doi.org/10.4213/mzm13257 (in Russian).

6. Ghodadra, B.L. Applications of Hölder’s and Jensen’s inequalities in studying the β-absolute convergence of Vilenkin–Fourier series. Mathematical Inequalities & Applications, 17 (2), 749–760 (2014). https://doi.org/10.7153/mia-17-55

7. Goginava, U. Matrix summability of Walsh–Fourier series. Mathematics, 10 (14), Article 2458 (2022).

8. Nagy, K. Restricted convergence of two-dimensional Nörlund means of Walsh–Fourier series. European Journal of Mathematics, 11, Article 28 (2025).

9. Temlyakov, V.N. Moduli of smoothness and approximation by Walsh–Fourier means in multidimensional settings. Journal of Approximation Theory, 334, Article 107982 (2024). https://doi.org/10.1016/j.jat.2024.107982

10. Vilenkin, N.Ya., Rubinstein, A.I. One theorem of S.B. Stechkin on absolute convergence and series over systems of characters of zero-dimensional Abelian groups. Izvestiya Vuzov. Matematika, No. 9, 3–9 (1975). (in Russian).

11. Yoneda, K. On absolute convergence of Walsh–Fourier series. Mathematica Japonica, 18 (1), 71–78 (1973).

12. Bari, N.K. Trigonometric series (Moscow: Fizmatgiz, 1961). (in Russian).

13. Zygmund, A. Trigonometric series (Cambridge: Cambridge University Press, 1959)