РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ИНВОЛЮЦИЕЙ

В данной работе рассматривается краевая задача для интегро-дифференциального уравнения дробного порядка 0 <α <1 с инволютивным преобразованием. Для исследования разрешимости поставленной краевой задачи используется метод параметризации, предложенный профессором Д. Джумабаевым. Для этого вводится параметр μ = x (0) и выполняется замена переменных 0 <α <1. Введенная замена переменных разбивает рассматриваемую задачу формально на две части, т.е. задачу Коши для интегро-дифференциального уравнения дробного порядка 0 <α <1 с инволютивным преобразованием и линейное уравнение относительно введенного параметра. Определяя решение задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения дробного порядка 0 <α <1 с инволютивным преобразованием и подставляя его в краевое условие, получим линейное уравнение относительно введенного параметра. Считая, что коэффициент данного уравнения не равен нулю, находим единственное решение исследуемой краевой задачи. Установлена взаимосвязь между разрешимостью исследуемой задачи и коэффициентом полученного уравнения.

1. Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., Trujillo, J.J. Theory and applications of fractional differential equations (Elsevier, 2006), pp. 204.

2. Przeworska-Rolewicz, D. Equations with Transformed Argument, An Algebraic Approach, 1st ed. (Elsevier Scientific: Amsterdam, The Netherlands, 1973).

3. Wiener, J. Generalized Solutions of Functional Differential Equations, 1st ed. (World Scientific: Singapore; River Edge NJ, USA; London, UK; Hong Kong, China, 1993).

4. Cabada, A., Tojo, F.A.F. Differential Equations with Involutions, 1st ed. (Atlantis Press: Paris, France, 2015), ISBN 978-94-6239-120-8.

5. Al-Salti, N., Kerbal, S., Kirane, M. Initial-boundary value problems for a time-fractional differential equation with involution perturbation. Math. Model. Nat. Phenomena, 14, 312 (2019).

6. Sarsenbi, A., Sarsenbi, A. On eigenfunctions of the boundary value problems for second order differential equations with involution. Symmetry, 13, 1972 (2021).

7. Turmetov, B., Karachik, V. On eigenfunctions and eigenvalues of a nonlocal Laplace operator with multiple Involution. Symmetry, 13, 1981 (2021).

8. Dildabek, G., Ivanova, M.B., Sadybekov, M.A. On root functions of nonlocal differential secondorder operator with boundary conditions of periodic type. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, 112(4), 29–44 (2021).

9. Kirane, M., Sarsenbi, A.A. Solvability of mixed problems for a fourth-order equation with involution and fractional derivative. Fractal and Fractional, 7(2), 131 (2023).

10. Mussirepova, E., Sarsenbi, A.A., Sarsenbi, A.M. Solvability of mixed problems for the wave equation with reflection of the argument. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 45(17), 11262–11271 (2022).

11. Yuldashev, T.K. Mixed problem for a nonlinear parabolic equation with involution. Lobachevskii Journal of Mathematics, 44(12), 5519–5527 (2023).

12. Benabbes, F., Boussetila, N., Lakhdari, A. The modified fractional- order quasi- reversibility method for a class of direct and inverse problems governed by time- fractional heat equations with involution perturbation. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 47(12), 9524–9555 (2024).

13. Dzhumabayev, D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation. Comput. Maths Math. Phys., 29(34), 34–46 (1989).

14. Assanova, A.T., Bakirova, E.A., Kadirbayeva, Z.M. Numerical Solution to a Control Problem for Integro-Differential Equations. Comput. Math. and Math. Phys., 60(2), 203–221 (2020).

15. Dzhumabaev, D.S. An algorithm for solving a linear two-point boundary value problem for an integrodifferential equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 53(6), 736–758 (2013).

16. Nazarova, K., Usmanov, K. On a boundary value problem for systems of integro-differential equations with involution. International Journal of Applied Mathematics, 34(2), 225–235 (2021).

17. Usmanov, K., Nazarova, K., Yerkisheva, Z. On the unique solvability of a boundary value problem for systems of loaded integro-differential equations with Involution. Lobachevskii Journal of Mathematics, 42(12), 3022–3034 (2021).

18. Nazarova, K., Usmanov, K. Unique solvability of boundary value problem for functional differential equations with involution. Bulletin of the Karaganda University – Mathematics, 3(103), 68–75 (2021).