НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

Глобальная оптимизация многоэкстремальных функций многих переменных – важная задача развития различных направлений науки. Актуальность этой задачи подтверждается тем, что необходимость поиска глобального экстремума постоянно возникает как в теоретических исследованиях, так и на практике. В данной работе предлагается новый подход к проблеме поиска глобального минимума многоэкстремальной функции многих переменных. В опубликованной ранее работе одного из авторов данной статьи путем преобразования целевой функции была построена специальная функция, которая была названа «вспомогательной функцией». При этом были изучены важные свойства этой функции (неотрицательность, равномерная непрерывность, дифференцируемость, монотонность и другие), благодаря которым переход от целевой функции к вспомогательной обеспечивает экономию и гарантию сходимости метода поиска глобального минимума. В предлагаемой статье строго сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия глобального минимума целевой функции, и, как следствие, задача нахождения глобального минимума многоэкстремальной функции многих переменных сводится к поиску «наибольшего нуля» выпуклой функции одной переменной. При этом доказано, что глобальный минимум целевой функции совпадает с точной верхней гранью нулей вспомогательной функции. А для определения «наибольшего нуля» вспомогательной функции с высокой точностью можно рационально использовать известные численные методы.

1. Horst R., Pardalos P.M. Thoai N.V. Introduction to Global Optimization. – New York: Springer Science & Business Media, 2000. – 354 p.

2. Numerica A. Complete Search in Continuous Global Optimization and Constraint Satisfaction. – Cambridge University Press, 2004. – 94 p.

3. Locatelli M., Schoen F. Global Optimization: Theory, Algorithms, and Applications. Philadelphia. – Society for Industrial and Applied Mathematics, 2013. –666 p.

4. Floudas C.A., Pardalos P.M. Recent Advances in Global Optimization. – Princeton: Princeton University Press, 2014. – 644 p.

5. Liberti L., Maculan N. Global Optimization: From Theory to Implementation. – New York: Springer Science & Business Media, 2006. – 428 p.

6. Wu Z. The effective energy transformation scheme as a special continuation approach to global optimization with application to molecular conformation // SIAM Journal on Optimization. – 1996. – Vol. 6(3). – P. 748–768.

7. Floudas C.A., Akrotirianakis I.G., Caratzoulas S., Meyer C. A., Kallrath J. Global optimization in the 21st century: Advances and challenges // Comput. Chem. Eng. – 2005. – Vol. (29). – P. 1185–1202.

8. Pinter J.D. Global Optimization: Scientific and Engineering Case Studies. – New York: Springer Science & Business Media, 2006. – 559 p.

9. Huster W. R., Bongartz D., Mitsos A. Deterministic global optimization of the design of a geothermal organic rankine cycle // Energy Procedia, 2017. – Vol. 129. – P. 50–57.

10. Kunde C., Michaels D., Micovic J., Lutze P., Górak A., Kienle A. Deterministic global optimization in conceptual process design of distillation and melt crystallization // Chemical Engineering and Processing: Process Intensification. – 2015. – Vol. 99. – P. 132–142.

11. González-Díaz J., González-Rodríguez B., Leal M., Puerto J. Global optimization for bi-level portfolio design: economic insights from the dow jones index // Omega. – 2021. – Vol. 102. – P. 1–18.

12. Locatelli M., Schoen F. (Global) Optimization: historical notes and recent developments // EURO Journal on Computational Optimization. – 2021. – Vol. 9. – № 1. – P. 1–15.

13. Klepeis J.L., Pieja M.J., Floudas C.A. Hybrid global optimization algorithms for protein structure prediction // Alternating hybrids. Biophysical journal. – 2003. – Vol. 84(2). – P. 869–882.

14. Liberti L., Sergei K. Comparison of deterministic and stochastic approaches to global optimization // Int. Trans. Oper. Res. – 2005. – Vol. 12(3). – P. 263–285.

15. Zhigljavsky A., Zilinskas A. Stochastic Global Optimization. – New York: Springer Science & Business Media, 2007. – 262 p.

16. Zhu W., Ali M.M. Solving nonlinearly constrained global optimization problem via an auxiliary function method // Journal of computational and applied mathematics. – 2009. – Vol. 230(2). – P. 491–503.

17. Kaidasov Zh., Tutkusheva Zh. Algorithm for Calculating the Global Minimum of a Smooth Function of Several Variables // Mathematical Modelling of Engineering Problems. – 2021. – Vol. 8. – No. 4. – P. 591–596. https://doi.org/10.18280/mmep.080412.

18. Кайракбаев А.К, Туткушева Ж.С. О свойствах одной вспомогательной функции для вычисления глобального экстремума // Вестник НИА РК. – 2024. – Т. 91. – №1. – С. 178–188. https://doi.org/10.47533/2024.1606-146X.17.

19. Tutkusheva Zh., Otarov Kh.T. Application of the Auxiliary Function Method to the Search for the Global Minimum of Functions of Many Variables // Mathematical Modelling of Engineering Problems. – 2024. – Vol. 118. – № 5. – P. 1323–1329. https://doi.org/10.18280/mmep.110523.

20. Kuznetsov A.V., Ruban A.I. Search for the main minima of multiextremal functions with active consideration of inequality constraints // Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies. – 2010. – Vol. 3. – P. 335–346.

21. Rouban A.I. Global optimization method based on the selective averaging coordinate with restrictions // J. Control and Computer Science. – 2013. – Vol. 1(22). – P. 114–123.

22. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. – Новосибирск: Математический университет Соболева, 1996. – 484 с.

23. Ramazanov M.D. Theory of lattice cubature formulas with a bounded boundary layer // Ufa mathematical journal, 2010. – Vol. 2. – No. 3. – P. 63–82.

24. Рамазанов М.Д. Асимптотически оптимальные решетчатые кубатурные формулы с ограниченным пограничным слоем и свойством ненасыщаемости // Математический сборник. – 2013. – Т. 204. – №7.– С. 71–96.

25. Tutkusheva Zh.S., Kazbekova G.N., Seilkhanova R.B., Kairakbaev A.K. Wegstein’s method for calculating the global extremum // Mathematical Modelling of Engineering Problems. – 2022. – Vol. 9. – № 2. – P. 405–410. https://doi.org/10.18280/mmep.090214.