О НЕКОТОРЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО АНАЛОГА БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

Известно, что система собственных функций классического бигармонического оператора с краевым условием Дирихле является полной и ортонормированной в пространстве . Соответствующие этим собственным функциям собственные значения являются положительными, и их можно пронумеровать в порядке возрастания. В некоторых случаях аналогичными свойствами обладают собственные функции и собственные значения краевых задач для возмущенного бигармонического оператора. В данной работе при помощи ортогональных матриц вводится нелокальный аналог возмущенного бигармонического оператора. Для данного оператора исследуются спектральные вопросы двух краевых задач. В первой задаче рассматриваются краевые условия Дирихле, во второй – условия типа Дирихле. При исследовании первой задачи мы используем полноту системы собственных функций задачи Дирихле для возмущенного бигармонического оператора. Используя свойства данных систем, а также свойства отображений с ортогональными матрицами, находим собственные функции и собственные значения основной задачи. Во второй задаче используем собственные функции и собственные значения задачи Дирихле для оператора Лапласа. При использовании явного вида, а также свойств этих систем строятся собственные функции и собственные значения второй задачи. Доказаны теоремы о полноте систем собственных функций, рассматриваемых задач в пространстве L₂.

1. Kirane M., Sadybekov M.A., Sarsenbi A.A. On an inverse problem of reconstructing a subdiffusion process from nonlocal data // Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 2019. – Vol. 42. – No. 6. – P. 2043–2052. https://doi.org/10.1002/mma.5498.

2. Torebek B.T, Tapdigoglu R. Some inverse problems for the nonlocal heat equation with Caputo fractional derivative // Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 2017. – Vol. 40. – No. 18. – P. 6468–6479. https://doi.org/10.1002/mma.4468.

3. Kornuta A.A., Lukianenko V.A. Stable structures of nonlinear parabolic equations with transformation of spatial variables // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2021. – Vol. 42. – No. 5. – P. 911–930. https://doi.org/10.1134/S1995080221050073.

4. Kornuta A. A., Lukianenko V. A. Nonlinear optics problem with transformation of a spatial variable and an oblique derivative // Contemporary Mathematics. Fundamental Directions. – 2023. – Vol. 69. – No. 2. – P. 276–288. https://doi.org/10.22363/2413-3639-2023-69-2-276-288.

5. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B. On the spectral analysis of a differential operator with an involution and general boundary conditions // Eurasian Mathematical Journal. – 2020. – Vol. 11. – No. 2. – P. 30–39. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2020-11-2-30-39.

6. Bondarenko N.P. Inverse spectral problems for functional-differential operators with involution // Journal of Differential Equations. – 2022. – Vol. 318. – No. 5. – P. 169–186. https: //doi.org/10.1016/j.jde.2022.02.027.

7. Granilshchikova Y.A., Shkalikov A.A. Spectral Properties of a Differential Operator with Involution // Moscow Univ. Math. Bull. – 2022. – Vol.77. – No .4. – P. 204–208. https://doi.org/10.3103/S0027132222040040.

8. Kritskov L.V., Ioffe V.L. Spectral Properties of the Cauchy Problem for a Second-Order Operator with Involution//Differential Equations. – 2021. – Vol. 57. –No. 2. – P. 1–10. https: //doi.org/10.1134/S0012266121010018.

9. Kritskov L., Sadybekov M., Sarsenbi A. Properties in pL of root functions for a nonlocal problem with involution // Turkish Journal of Mathematics. – 2019. – Vol. 43. – No. 1. – P. 393– 401. https://doi.org/10.3906/mat-1809-12.

10. Sarsenbi A.A., Sarsenbi A.M. On eigenfunctions of the boundary value problems for second order differential equations with involution//Symmetry. – 2021. – Vol. 13. – No. 1972. – P. 1–9. https://doi.org/10.3390/sym13101972.

11. Sarsenbi A.A., Sarsenbi A.M. Boundary value problems for a second-order differential equation with involution in the second derivative and their solvability // AIMS Mathematics. – 2023. – Vol. 8. – No. 11. – P. 26275–26289. https://doi.org/10.3934/math.20231340.

12. Vladykina V.E., Shkalikov A.A. Regular Ordinary Differential Operators with Involution//Math Notes. – 2019. – Vol. 106. – P. 674–687. https://doi.org/10.1134/S0001434619110026.

13. Kirane M., Sarsenbi A.A. Solvability of Mixed Problems for a Fourth-Order Equation with Involution and Fractional Derivative//Fractal and Fractional. – 2023. – Vol. 7. – No. 131. – P. 1–12. https://doi.org/10.3390/fractalfract7020131.

14. Polyakov D.M. On the Bari basis property for even-orderdifferential operators with involution//Tamkang journal of mathematics. – 2023. – Vol. 54. – No. 4. – P. 339 – 351. http://dx.doi.org/10.5556/j.tkjm.54.2023.4899.

15. Turmetov B. Kh., Karachik V.V. Solvability of nonlocal Dirichlet problem for generalized Helmholtz equation in a unit ball // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2023. – Vol. 68. – No. 7. – P. 1204–1218. https://doi.org/10.1080/17476933.2022.2040021.

16. Turmetov B., Karacik V.V. On eigenfunctions and eigenvalues of a nonlocal Laplace operator with involution in a parallelepiped // AIP Conference Proceedings. – 2023. – Vol. 2879. – No. 1. – P. 1–4. https://doi.org/10.1063/5.0175246.

17. Rektorys K., Variational methods in mathematics, science and engineering. – Dordrecht: Springer, 1977. https://doi.org/10.1007/978-94-011-6450-4.

18. Karachik V.V., Sarsenbi A., Turmetov B.Kh. On solvability of the main boundary value problems for a non-local Poisson equation // Turkish journal of mathematics. – 2019. – Vol. 43. – No. 3. – P. 1604–1625. https://doi.org/10.3906/mat-1901-71.