O ПОНЯТИЯХ ВЫПУКЛОСТИ И СЛАБОЙ О-МИНИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУР

В данной работе мы рассматриваем обобщение понятия слабой о-минимальности на частично упорядоченные множества. Однако понятие слабой о-минимальности основано на понятии выпуклого множества, прямой перенос которого на частичные порядки, как будет показано в работе, не является, на наш взгляд, самым удачным, поскольку тогда в классе слабо о-минимальных частично упорядоченных структур возможно определить любую математическую структуру. Причем, как будет показано, это можно сделать при помощи такой простой операции, как пересечение интервалов. Статья посвящена поиску различных обобщений понятия выпуклого множества на частичные порядки. Так как выпуклые множества на прямой обладают и другими свойствами, такими, например, как возможность их представить в виде объединения или пересечения интервалов, выпуклые множества связны, все эти свойства могут быть положены в основу определения выпуклого множества для частично упорядоченных структур. Так, представление выпуклого множества в виде объединения вложенных друг в друга интервалов (полуинтервалов, отрезков) дает нам понятие внутренне выпуклого множества, а пересечение интервалов дает понятие внешне выпуклого множества. В статье будут построены примеры, которые показывают неэквивалентность вводимых понятий.

1. Macpherson H.D., Marker D. and Steinhorn C. Weakly o-minimal structures and real closed fields. Transactions of the American Mathematical Society. – 2000. – Vol. 352. – No. 12. – P. 5435–5483.

2. Кудайбергенов К.Ж. Отношения выпуклости и обобщения o-минимальности // Математические труды. – 2018. – Т. 21. – № 1. – С. 35–54.

3. Кудайбергенов К.Ж. Обобщение o-минимальности на частичные порядки // Математические труды. – 2012. – Т. 15. – № 1. – С. 86–108.

4. Kulpeshov B.Sh. On connectedness in partially ordered structures // AIP Proceedings 1759, 020062 (2016), https://doi.org/10.1063/1.4969676.

5. Emelyanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. Algebras of binary formulas for some partially ordered theories // Algebra and Model Theory 13 (collection of papers edited by A.G. Pinus, E.N. Poroshenko, and S.V. Sudoplatov). – NSTU, Novosibirsk, 2021. – P. 69–75.