kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2021-18-2-53-58kaz29-84Research ArticleФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИPHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCESБЕСКОНЕЧНЫЕ СЕМЕЙСТВА ВСЮДУ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ С ГЛАВНЫМИ НУМЕРАЦИЯМИINFINITE FAMILIES OF TOTAL FUNCTIONS WITH PRINCIPAL NUMBERINGShttps://orcid.org/0000-0001-7020-7988ИсаховА. А.IssakhovA. A.

050000, Алматы

Assylbek A. Issakhov - PhD Doctor, Head and Professor of the Scientific and Educational Center of Mathematics and Cybernetics

050000, Almaty

a.isakhov@kbtu.kzhttps://orcid.org/0000-0002-6517-5560РахымжанкызыФ.RakymzhankyzyF.

050000, Алматы

Fariza Rakymzhankyzy - Master of Science, PhD student, Scientific and Educational Center for Mathematics and Cybernetics

050000, Almaty

fariza.rakymzhankyzy@gmail.comОстемироваУ.OstemirovaU.

050000, Алматы

Uldana B. Ostemirova – PhD student, tutor of the Scientific and Educational Center of Mathematics and Cybernetics

050000, Almaty

u.ostemirova@kbtu.kzКазахстанско-Британский технический университетКазахстанKazakh-British technical universityKazakhstan2021041120211825358Copyright © Исахов А.А., Рахымжанкызы Ф., Остемирова У., 20212021Исахов А.А., Рахымжанкызы Ф., Остемирова У.Issakhov A.A., Rakymzhankyzy F., Ostemirova U.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/84

Ранее было известно, что любое не одноэлементное (в частности, любое бесконечное) семейство всюду определенных функций с оракулом А, такое что Ø′≤TA, не имеет А-вычислимую главную нумерацию, позже было доказано, что любое конечное семейство всюду определенных функций с гипериммунно-свободным оракулом А всегда обладает А-вычислимой главной нумерацией. Оставался нерешенным вопрос о том, что существует ли бесконечное семейство всюду определенных функций с гипериммунно-свободным оракулом А, которое имеет -вычислимую главную нумерацию. В работе приводится положительный ответ на указанный вопрос: доказано, что существует бесконечное -вычислимое семейство F всюду определенных функций, где тьюрингова степень множества A гипериммунно-свободна, такое, что F имеет A-вычислимую главную нумерацию.

It was known that any non-single-element (in particular, any infinite) family of total functions with an oracle A, such that Ø′≤TA, does not have A-computable principal numbering; later it was proved that any finite family of total functions with a hyperimmune-free oracle A always has an A-computable principal numbering. The unresolved question was whether there exists an infinite family of total functions with a hyperimmune-free oracle A that has an A-computable principal numbering. The paper gives a positive answer to this question: it is proved that there exists an infinite A-computable family F of total functions, where the Turing degree of the set A is hyperimmune-free, such that F has an A-computable principal numbering.

A-вычислимая нумерациягипериммунный оракулгипериммунно-свободный оракулглавная нумерацияA-computable numberinghyperimmune oraclehyperimmune-free oracleprincipal numberingThis work was supported by the Science Committee of the Republic of Kazakhstan (Grant AP08856493).ReferencesYu.L. Ershov. Theory of numberings Handbook of Computability Theory. – North-Holland; Amsterdam: Stud. Log. Found. Math., 1999, Vol. 140, pp. 473-503.Yu.L. Ershov. Theory of numberings Handbook of Computability Theory. – North-Holland; Amsterdam: Stud. Log. Found. Math., 1999, Vol. 140, pp. 473-503.S.A. Badaev and S.S. Goncharov, Generalized computable universal numberings, Algebra and Logic, vol. 53 (2014), no. 5, pp. 355-364.S.A. Badaev and S.S. Goncharov, Generalized computable universal numberings, Algebra and Logic, vol. 53 (2014), no. 5, pp. 355-364.A.A. Issakhov, Ideals without minimal elements in Rogers semilattices, Algebra and Logic, vol. 54 (2015), no. 3, pp. 197-203.A.A. Issakhov, Ideals without minimal elements in Rogers semilattices, Algebra and Logic, vol. 54 (2015), no. 3, pp. 197-203.A.A. Issakhov, -computable numberings of the families of total functions, The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 22 (2016), no. 3, p. 402.A.A. Issakhov, -computable numberings of the families of total functions, The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 22 (2016), no. 3, p. 402.Assylbek Issakhov, Hyperimmunity and -computable universal numberings, AIP Conference Proceedings, vol. 1759, 020106 (2016); doi: 10.1063/1.4959720.Assylbek Issakhov, Hyperimmunity and -computable universal numberings, AIP Conference Proceedings, vol. 1759, 020106 (2016); doi: 10.1063/1.4959720.M.Kh. Faizrakhmanov, Universal generalized computable numberings and hyperimmunity, Algebra and Logic, vol. 56 (2017), no. 4, pp. 337-347.M.Kh. Faizrakhmanov, Universal generalized computable numberings and hyperimmunity, Algebra and Logic, vol. 56 (2017), no. 4, pp. 337-347.Soare R.I., Recursively enumerable sets and degrees. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1987. – 437 p.Soare R.I., Recursively enumerable sets and degrees. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1987. – 437 p.Miller W., Martin D.A., The degree of hyperimmune sets Z. Math. Logik Grundlag. Math., 1968, Vol. 14, pp. 159-166.Miller W., Martin D.A., The degree of hyperimmune sets Z. Math. Logik Grundlag. Math., 1968, Vol. 14, pp. 159-166.Issakhov A.A., Rakymzhankyzy F., Hyperimmunity and -computable numberings The Bulletin of Symbolic Logic, 2018, Vol. 24, No. 2, pp. 248-249.Issakhov A.A., Rakymzhankyzy F., Hyperimmunity and -computable numberings The Bulletin of Symbolic Logic, 2018, Vol. 24, No. 2, pp. 248-249.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.