kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2023-20-3-45-50kaz29-763Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПОРЯДКОВ С ОПРЕДЕЛИМОЙ ОДНОМЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ И СВОЙСТВО НЕЗАВИСИМОСТИEXAMPLES OF LINEAR ORDERS WITH A DEFINABLE UNARY FUNCTION AND THE INDEPENDENCE PROPERTYhttps://orcid.org/0000-0001-5177-8523ВербовскийВ.VerbovskiyV.

Виктор Вербовский, Доктор физико-математических наук, доцент, профессор

ул. Сатпаева, 22, 050013, г. Алматы

Viktor Verbovskiy, Doctor of physical and mathematical sciences, docent, professor

22a Satpaev str., 050013, Almaty

v.verbovskiy@satbayev.universityhttps://orcid.org/0000-0001-6732-1077ЕршигешоваА.YershigeshovaA.

Айша Ершигешова, Магистр математики, старший преподаватель

ул. Абылай хана, 1/1, 040900, г. Каскелен

Aisha Yershigeshova, Master of mathematics, Senior Lecture

1/1 Abylai Khan st., 040900, Kaskеlen

aisha.yershigeshova@sdu.edu.kzSatbayev UniversityКазахстанSatbayev UniversityKazakhstanУниверситет им. Сулеймана ДемиреляКазахстанSuleyman Demirel UniversityKazakhstan2023011020232034550Copyright © Вербовский В., Ершигешова А., 20232023Вербовский В., Ершигешова А.Verbovskiy V., Yershigeshova A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/763

После появления понятия о-минимальности, которое было введено Л. ван ден Дриесом для обогащений упорядоченного поля вещественных чисел и обобщено на произвольные линейные порядки А. Пиллаем и Ч. Стайнхорном, линейно упорядоченные структуры прочно вошли в круг интересов специалистов по теории моделей. В работах разных авторов появились многочисленные обобщения понятия о-минимальности, такие как слабая о-минимальность, квази-о-минимальность, слабая квази-о-минимальность, дп-минимальность и упорядоченная стабильность. Б.С. Байжановым и В.В. Вербовским было доказано, что упорядоченная стабильность обобщает все вышеперечисленные понятия для линейно упорядоченных структур и что упорядоченная стабильность влечет отсутствие свойства независимости. Также ими было доказано, что любой линейный порядок имеет упорядоченно суперстабильную теорию. В.В. Вербовским были исследованы упорядоченно стабильные упорядоченные группы, в частности, им было доказано, что они являются коммутативными. В данной работе мы начинаем исследование вопроса, насколько сложной может быть теория линейного порядка с одной одноместной функцией. Мы строим пример обогащения линейно упорядоченной структуры одной одноместной функцией, который обладает свойством независимости.

After the appearance of the concept of o-minimality, which was introduced by L. van den Dries for expansions of the ordered field of real numbers and generalized to arbitrary linear orders by A. Pillay and C. Steinhorn, linearly ordered structures became firmly established in the circle of interests of specialists in model theory. Numerous generalizations of the concept of o-minimality have appeared in the works of various authors, such as weak o-minimality, quasi-o- minimality, weak quasi-o-minimality, dp-minimality, and o-stability. B. S. Baizhanov and V. V. Verbovskiy proved that o-stability generalizes all the above concepts for linearly ordered structures and that o-stability entails the absence of the independence property. They also proved that any linear order has an o-superstable theory. V. V. Verbovskiy studied o-stable ordered groups, in particular, he proved that they are commutative. In this paper, we begin the study of the question of how complex the theory of a linear order with one unary function can be. We construct an example of an expansion of a linearly ordered structure with one unary function, which has the independence property.

линейно упорядоченное множествосвойство независимостиунарупорядоченная стабильностьо-минимальностьlinearly ordered setindependence propertyunaro-stabilityo-minimalityReferencesБайжанов Б.С., Вербовский В.В. Упорядоченно стабильные теории. Алгебра и логика, 50:3 (2011), 303–325.Bajzhanov B.S., Verbovskij V.V. (2011) Uporjadochenno stabil'nye teorii. Algebra i logika, 50:3, pp. 303–325.Вербовский В.В. Дп-минимальные и упорядоченно стабильные структуры, Математический журнал, 10:2 (2010), 35–38.Verbovskij V.V. (2010) Dp-minimal'nye i uporjadochenno stabil'nye struktury, Matematicheskij zhurnal, 10:2, pp. 35–38.Вербовский В.В. Упорядоченно стабильные группы. Математические труды, 13:2 (2010), 84–127.Verbovskij V.V. (2010) Uporjadochenno stabil'nye gruppy. Matematicheskie trudy, 13:2, pp. 84–127.Baizhanov B.S. Expansion of a model of a weakly o-minimal theory by a family of unary predicates. The Journal of Symbolic Logic, 66:3 (2001), 1382–1414.Baizhanov B.S. (2001) Expansion of a model of a weakly o-minimal theory by a family of unary predicates. The Journal of Symbolic Logic, 66:3, pp. 1382–1414.Belegradek O. V., Verbovskiy V. V., Wagner F. O. Coset-minimal groups, Annals of Pure and Applied Logic, 121:2-3 (2003), 113–143.Belegradek O.V., Verbovskiy V.V., Wagner F.O. (2003) Coset-minimal groups, Annals of Pure and Applied Logic, 121:2-3, 113–143.Macpherson D., Marker D., Steinhorn C. Weakly o-minimal structures and real closed fields. Transactions of The American Mathematical Society, 352 (2000), 5435–5483.Macpherson D., Marker D., Steinhorn C. (2000) Weakly o-minimal structures and real closed fields. Transactions of The American Mathematical Society, 352, pp. 5435–5483.Pillay A., Steinhorn Ch. Definable sets in ordered structures.1. Transactions of The American Mathematical Society, 295 (1986), 565–592.Pillay A., Steinhorn Ch. (1986) Definable sets in ordered structures.1. Transactions of The American Mathematical Society, 295, pp. 565–592.Kulpeshov B. S. Weakly o-minimal structures and some of their properties. The Journal of Symbolic Logic, 63 (1998), 1511–1528.Kulpeshov B.S. (1998) Weakly o-minimal structures and some of their properties. The Journal of Symbolic Logic, 63, pp. 1511–1528.Kulpeshov B. S. Criterion for binarity of omega-categorical weakly o-minimal theories. Annals of Pure and Applied Logic, 145 (2007), 354–367.Kulpeshov B.S. (2007) Criterion for binarity of omega-categorical weakly o-minimal theories. Annals of Pure and Applied Logic, 145, pp. 354–367.Shelah S. Stable theories. Israel Journal of Mathematics, 7 (1969), 187–202.Shelah S. (1969) Stable theories. Israel Journal of Mathematics, 7, pp. 187–202.Verbovskiy V.V. O-stable ordered groups. Siberian Advances in Mathematics, 22 (2012), 50–74.Verbovskiy V.V. (2012) O-stable ordered groups. Siberian Advances in Mathematics, 22, pp. 50–74.Verbovskiy V.V. On a classification of theories without the independence property, Mathematical Logic Quarterly 59 (2013), 119–124.Verbovskiy V.V. (2013) On a classification of theories without the independence property, Mathematical Logic Quarterly 59, pp. 119–124.Verbovskiy V.V. On ordered groups of Morley o-rank 1. Siberian Electronic Mathematical Reports 15 (2018), 314–320.Verbovskiy V.V. (2018) On ordered groups of Morley o-rank 1. Siberian Electronic Mathematical Reports 15, pp. 314–320.Verbovskiy V.V. On commutativity of circularly ordered c-o-stable groups, Eurasian Mathematical Journal, 4:9 (2018), 91–98.Verbovskiy V.V. (2018) On commutativity of circularly ordered c-o-stable groups, Eurasian Mathematical Journal, 4:9, pp. 91–98.Verbovskiy V.V. On definability of types and relative stability, Mathematical Logic Quarterly 65 (2019), 332–346.Verbovskiy V.V. (2019) On definability of types and relative stability, Mathematical Logic Quarterly 65, pp. 332–346.Verbovskiy V.V., Dauletiyarova A. B. Piecewise monotonicity for unary functions in o-stable groups. Algebra and Logic 60, 1 (2021), 23–38.Verbovskiy V.V., Dauletiyarova A.B. (2021) Piecewise monotonicity for unary functions in o-stable groups. Algebra and Logic 60, 1, pp. 23–38.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.