kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2023-20-2-43-48kaz29-705Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESАЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КРИТЕРИЯ ПОЛНОТЫ КЛАССА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМALGEBRAIC CHARACTERISTICS OF THE CRITERION OF COMPLETENESS OF A CLASS OF ALGEBRAIC SYSTEMSКасатоваА.KasatovaA.

Касатова Аида, Начальник отдела

ул. Гоголя, 40, 100000, г. Караганды

Kasatova Aida, Head of department

Gogol st., 40, 100000, Karagandy

kassatova@kmu.kzКабиденовА.KabidenovA.

Қабиденов Ануар, PhD докторант

ул. Кажымукана,13, 100008, г. Астана

Kabidenov Anuar, PhD

st. Kazhymukan, 13, 010008, Astana

kabiden@gmal.comhttps://orcid.org/0009-0007-4511-5476БекеновМ.BekenovM.

Бекенов Махсут Ескендірұлы, Профессор кафедры алгебры и геометрии

ул. Кажымукана, 13, 010008, г. Астана

Bekenov Mahsut Iskanderuly, Professor of the Algebra and Geometry Department

st. Kazhymukan 13, 010008, Astana

bekenov50@mail.ruМедицинский университет КарагандыКазахстанMedical University of KaragandyKazakhstanЕвразийский национальный университет им. Л.Н. ГумилеваКазахстанL.N. Gumilyov Eurasian National UniversityKazakhstan2023020720232024348Copyright © Касатова А., Кабиденов А., Бекенов М., 20232023Касатова А., Кабиденов А., Бекенов М.Kasatova A., Kabidenov A., Bekenov M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/705

Во многих источниках по теории моделей помимо доказанных свойств о классах алгебраических систем приводятся характеристики этих свойств в алгебраических терминах, то есть показывают природу этих свойств в ракурсе универсальной алгебры. Например, класс квазимногообразий или многообразий определяют, используя теоретико-модельные понятия выполнения квазитождеств или тождеств и в алгебраических понятиях замкнутости относительно прямых произведений, ультрапроизведений, выполнения локальности, замкнутости относительно гомоморфизмов. Х.Дж. Кейслер привел алгебраическую характеристику критерия аксиоматизируемости класса алгебраических систем, используя замкнутость класса относительно ультрапроизведения и изоморфизма алгебраических систем, а также замкнутости относительно ультрастепеней для дополнения классу. Х.Дж. Кейслер не приводит, однако, какую-либо алгебраическую характеризацию критерия полноты класса алгебраических систем. В данной статье получена алгебраическая характеристика критерия полноты класса алгебраических систем. Для сравнения: дать алгебраическую характеристику критерия модельной полноты класса в терминах, используемых в статье, не представляется возможным. Это показывает, что алгебраическая природа полного и модельно полного классов некоторым образом различается.

In many sources on model theory, in addition to the proven properties about classes of algebraic systems, the characteristics of these properties are given in algebraic terms, that is, they show the nature of these properties from the perspective of universal algebra. For example, the class of quasi-varieties or varieties is defined using model-theoretic concepts, fulfillment of quasi-identities or identities, and in algebraic concepts of closedness with respect to direct products, ultraproducts, fulfillment of locality, closedness with respect to homomorphisms. H.J. Keisler gave an algebraic characterization of the criterion for the axiomatizability of a class of algebraic systems, using the closure of the class under the ultraproduct and isomorphism of algebraic systems, as well as the closure under ultrapowers to complement the class. H.J. Keisler, however, does not give any algebraic characterization of the criterion for completeness of a class of algebraic systems.In this article, an algebraic characterization of the completeness criterion for a class of algebraic systems is obtained. For comparison, it is not possible to give an algebraic description of the criterion for the model completeness of a class, in terms used in the article. This shows that the algebraic nature of complete and model complete classes is somewhat different.

класс алгебраических системэлементарное вложениеаксиоматизируемостьотношение частичного порядкаclass of algebraic systemselementary embeddingaxiomatizabilitypartial order relationРабота третьего из авторов выполнена при финансовой поддержке Комитета науки Минобрнауки РК, грант № AP09259295.ReferencesTarski A., Vaugt R.L. Arithmetical extensions of relational systems. Compositio math. – 1957. – 13. – PР. 81–102.Tarski A., Vaugt R.L. (1957) Arithmetical extensions of relational systems. Compositio math, 13, pp. 81–102.Robinson A. Complete Theories. – Amsterdam, North-Holland, 1956.Robinson A. (1956) Complete Theories. Amsterdam, North-Holland.Мальцев А.И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970.Mal'cev A.I. (1970) Algebraicheskie sistemy (in Russian).Кейслер Х.Дж., Чэн К.К. – Теория моделей. – М.: Мир, 1977Kejsler H.Dzh., Chjen K.K. (1977) Teorija modelej (in Russian).Keisler H.J. Ultraproducts and elementary classes. – Koninkl. Ned. Akad. Wetensch. Proc., Ser. A, 64 (Indag. Math. 23). – PР. 477–495.Keisler H.J. Ultraproducts and elementary classes. Koninkl. Ned. Akad. Wetensch. Proc., Ser. A, 64, Indag.Math. 23, pp. 477–495.Бекенов М.И. Некоторые свойства элементарной вложимости в теории моделей // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. – 2016. – С. 13–16; J. Math. Sci. – 2018. – С. 10–13.Bekenov M.I. (2016) Nekotorye svojstva jelementarnoj vlozhimosti v teorii modelej, Sib. zhurn. chist. i prikl. matem., 6:4, pp. 13–16 (in Russian); 2018 J. Math. Sci. 230:1, pp. 10–13.Бекенов М. И. О спектре квазитрансцендентных теорий // Алгебра и логика. – 1982. – С. 3–12.Bekenov M.I. (1982) O spektre kvazitranscendentnyh teorij, Algebra i logika, 21:1, pp. 3–12 (in Russian).Бекенов М.И. – Классы подобия относительно элементарной вложимости моделей теории. – Кокшетау, КУАМ, 2010. – С. 174–176.Bekenov M.I. (2010) Klassy podobija otnositel'no jelementarnoj vlozhimosti modelej teorii, pp.174–176 (in Russian).Бекенов М.И., Нуракунов А.М. Полугруппа теорий и ее решетка идемпотентных элементов // Алгебра и логика. – 2021. – С. 3–22; Algebra and Logic. – 2021. – С.1–14.Bekenov M.I., Nurakunov A.M. (2021) Polugruppa teorij i ee reshetka idempotentnyh jelementov, Algebra i logika, 60:1, pp. 3–22 (in Russian); Algebra and Logic, 2021, 60:1, pp. 1–14.Sacks G. Saturated Model Theory. – N.Y. Benjamin, 1972.Sacks G. (1972) Saturated Model Theory, N.Y. Benjamin.Vaught R.L. Applications Lowenheim-Skolem theorem to problems of completeness and decidability // Indag. Math. – 1954 – PP. 467–472.Vaught R.L. (1954) Applications Lowenheim-Skolem theorem to problems of completeness and decidability, Indag. Math., 16, pp. 467–472.Morley M. Categoricity in power // Trans. Amer. Math. Soc. – 1965. – РР. 514–538.Morley M. (1965) Categoricity in power, Trans. Amer. Math. Soc., 114, pp. 514–538.Эклоф П. Теория ультрапроизведений для алгебраистов / Справочная книга по математической логике. – т.1. – гл.3.Jeklof P. Teorija ul'traproizvedenij dlja algebraistov, Spravochnaja kniga po matematicheskoj logike, vol.1, l.3 (in Russian).Барвайс Дж. Теория моделей / Справочная книга по математической логике. – т.1. – М.: Наука, 1982.Barvajs Dzh. (1982) Teorija modelej, Spravochnaja kniga po matematicheskoj logike, vol. 1 (in Russian).Ершов Ю.Л., Лавров И.А., Тайманов А.Д., Тайцлин М.А. Элементарные теории, УМН. – 1965. – С. 37–108.Ershov Ju.L., Lavrov I.A., Tajmanov A.D., Tajclin M.A. (1965) Jelementarnye teorii, UMN, 20:4 (124), pp. 37–108 (in Russian).Bekenov M.I. Properties of elementary embeddability in model theory // Journal of Mathematical Sciences. – Vol. 230. – Issue 1. – 2018. – Р. 10–13.Bekenov M.I. (2018) Properties of elementary embeddability in model theory, Journal of Mathematical Sciences, vol. 230, issue 1, pp. 10–13.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.