kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-4-279-294kaz29-2300Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESО НЕКОТОРЫХ ПОДКЛАССАХ КЛАССОВ ПОЧТИ ВЫПУКЛЫХ И ДВАЖДЫ ПОЧТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙABOUT SOME SUBCLASSES OF CLASSES OF CLOSE-TO-CONVEX AND DOUBLY CLOSE-TO-CONVEX FUNCTIONShttps://orcid.org/0000-0002-2278-2723МайерФ. Ф.MaiyerF. F.

канд. физ.-матем. наук, профессор

г. Костанай

Cand. Phys.-Math. Sc., Professor

Kostanay

maiyer@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0003-1926-8958ТастановМ. Г.TastanovM. G.

канд. физ.-матем. наук, профессор

г. Костанай

Cand. Phys.-Math. Sc., Professor

Kostanay

tastao@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-5143-0260УтемисоваА. А.UtemissovaA. A.

канд. пед. наук, ассоциированный профессор

г. Костанай

Cand. Ped. Sc., Associate Professor

Kostanay

anar_utemisova@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0003-6007-0254КалаковБ. А.KalakovB. A.

канд. физ.-матем. наук

г. Костанай

Cand. Phys.-Math. Sc.

Kostanay

kalakov1968@gmail.comКостанайский региональный университет им. Ахмета БайтұрсынұлыКазахстанAkhmet Baitursynuly Kostanay Regional UniversityKazakhstan202523122025224279294Copyright © Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Калаков Б.А., 20252025Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Калаков Б.А.Maiyer F.F., Tastanov M.G., Utemissova A.A., Kalakov B.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/2300

Известно, что класс  почти выпуклых функций задается условием положительности функционала  со звездообразной функцией . Замена звездообразной функции  на выпуклую приводит к известному подклассу  класса . В настоящей статье вводится обобщение класса  на случай, когда множество значений  содержится в области специального вида, которая в частном случае может совпадать и с полуплоскостью. Также обобщение связано с расширением класса  до определенного подкласса класса нормированных дважды почти выпуклых функций. Многообразие частных случаев области специального вида и переход к дважды почти выпуклым функциям позволяет получить как новые оригинальные результаты, так и обобщения ранее известных результатов. Основные исследования данной статьи направлены на доказательство теорем об искажении, нахождение радиусов выпуклости рассматриваемых классов функций и обоснование точности полученных результатов. Также установлена связь введенного класса функций с некоторым новым классом дважды почти звездообразных функций. Для данного класса и его подклассов также получены новые результаты в виде теорем о росте и радиусе звездообразности и обобщения ранее известных результатов.

It is known that the class  close-to-convex functions is defined by the condition of positivity of the functional  with a starlike function . Replacing the starlike function  with a convex one leads to a known subclass  of the class . In this article, we introduce a generalization of the class  to the case when the set of values  is contained in a region of a special type, which, in a particular case, can coincide with a half-plane. The generalization is also associated with the extension of the class  to a certain subclass of the class of normalized doubly close-to-convex functions. The diversity of special cases of a domain of a special type and the transition to doubly close-to-convex functions allows us to obtain both new original results and generalizations of previously known results. The main research of this article is aimed at proving theorems on distortion, finding the radii of convexity of the considered classes of functions and justifying the accuracy of the obtained results. A connection has also been established between the introduced class of functions and a certain new class of doubly close-to-starlike functions, special cases of which have been actively studied in recent years. For this class and its subclasses, new results have also been obtained in the form of theorems on growth and radius of starlikeness and generalization of previously known results.

звездообразные функциипочти звездообразные функциипочти выпуклые функциитеоремы искажениярадиусы выпуклоститеоремы ростарадиусы звездообразностиstarlike functionsclose-to-starlike functionsclose-to-convex functionsdistortion theoremsradii of convexitygrowth theoremsradii of starlikenessReferencesKaplan W. Close-to-convex schlicht functions // Michigan Math. J. – 1952. – Vol. 1 – No. 2 – P. 169–185. https://10.1307/mmj/1028988895.Kaplan W. Close-to-convex schlicht functions // Michigan Math. J. – 1952. – Vol. 1 – No. 2 – P. 169–185. https://10.1307/mmj/1028988895.Renyi A. Some remarks on univalent functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. – 1959. – Sec. A.3. – № 2. – P. 111–121. http://sci-gems.math.bas.bg:8080/jspui/bitstream/10525/2878/1/1959-111-121.pdf.Renyi A. Some remarks on univalent functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. – 1959. – Sec. A.3. – № 2. – P. 111–121. http://sci-gems.math.bas.bg:8080/jspui/bitstream/10525/2878/1/1959-111-121.pdf.Reade M.O. The coefficients of close-to-convex functions // Duke Math. J. –1956. – Vol. 23. – No. 3. – P. 459–462. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-56-02342-0Reade M.O. The coefficients of close-to-convex functions // Duke Math. J. –1956. – Vol. 23. – No. 3. – P. 459–462. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-56-02342-0Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Ысмағұл Р.С. Точные оценки регулярных функций и радиусы выпуклости и звездообразности некоторых классов звездообразных и почти звездообразных функций // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2024. – 21(2). – С. 127– 138. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-2-127-138.4 Maiyer, F.F., Tastanov, M.G., Utemissova, A.A. and Ysmagul, R.S. Exact estimates of regular functions and radii of convexity and starlikeness of some classes of starlike and close-to-starlike functions, Herald of the Kazakh-British technical university, 21(2), 127–138 (2024). https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-2127-138.Abdel-Gawad H.R., Thomas D.K. A subclass of close-to-convex functions // Publications De L’Institut Mathématique, Nouvelle série tome. – 1991. – Vol. 49. No. 63. – P. 61–66.Abdel-Gawad H.R., Thomas D.K. A subclass of close-to-convex functions // Publications De L’Institut Mathématique, Nouvelle série tome. – 1991. – Vol. 49. No. 63. – P. 61–66.Selvaraj C. A subclass of close-to-convex functions // South East Asian Bull. of Math. – 2004. – Vol. 28 – P. 113–123.Selvaraj C. A subclass of close-to-convex functions // South East Asian Bull. of Math. – 2004. – Vol. 28 – P. 113–123.Mehork B.S., Singh G. A subclass of close-to-convex functions // Int. J. of Math. Analysis. – 2010, Vol. 4 – No. 27 – P. 1319–1327. http://www.m-hikari.com/ijma/ijma-2010/ijma-25-28-2010/singhIJMA25-28-2010.pdf.Mehork B.S., Singh G. A subclass of close-to-convex functions // Int. J. of Math. Analysis. – 2010, Vol. 4 – No. 27 – P. 1319–1327. http://www.m-hikari.com/ijma/ijma-2010/ijma-25-28-2010/singhIJMA25-28-2010.pdf.Peng Z.G. On a subclass of close to convex functions // Acta Mathematica Scientia, – 2010. – Vol. 30. – No. 5. – P. 1449–1456.Peng Z.G. On a subclass of close to convex functions // Acta Mathematica Scientia, – 2010. – Vol. 30. – No. 5. – P. 1449–1456.Stelin S., Selvaraj C. On a generalized class of close-to-convex functions of order α. Intern // J. of Pure and Applied Math. – 2016. – Vol. 109. – No. 5. – P. 141–149.Stelin S., Selvaraj C. On a generalized class of close-to-convex functions of order α. Intern // J. of Pure and Applied Math. – 2016. – Vol. 109. – No. 5. – P. 141–149.Reade M.O. On close-to-convex univalent functions // Michigan Math. J. – 1955. – Vol. 3 – P. 59–62.Reade M.O. On close-to-convex univalent functions // Michigan Math. J. – 1955. – Vol. 3 – P. 59–62.MacGregor T.H. The radius of univalence of certain analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. – 1963. – Vol. 14. – P. 514–520.MacGregor T.H. The radius of univalence of certain analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. – 1963. – Vol. 14. – P. 514–520.MacGregor T.H. The radius of univalence of certain analytic functions, II // Proc. Am. Math. Soc. – 1963. – Vol. 14. – P. 521–524. http://dx.doi.org/10.1090/s0002-9939-1963-0148892-5.MacGregor T.H. The radius of univalence of certain analytic functions, II // Proc. Am. Math. Soc. – 1963. – Vol. 14. – P. 521–524. http://dx.doi.org/10.1090/s0002-9939-1963-0148892-5.Kohr G., Graham I. Geometric function theory in one and higher dimensions // New York: Pure and Applied Mathematics (M. Dekker), Inc. 56. – 2003. – 528 p. https://doi.org/10.1201/9780203911624.Kohr G., Graham I. Geometric function theory in one and higher dimensions // New York: Pure and Applied Mathematics (M. Dekker), Inc. 56. – 2003. – 528 p. https://doi.org/10.1201/9780203911624.Strohhäcker E. Beiträge zur theorie der schlichten funktionen // Mathematische Zeitschrift. – 1933. – Vol. 37 – P. 356–380.Strohhäcker E. Beiträge zur theorie der schlichten funktionen // Mathematische Zeitschrift. – 1933. – Vol. 37 – P. 356–380.Sebastianc A., Ravichandran V. Radius of starlikeness of certain analytic functions // Math. Slovaca. – 2021. – Vol. 71. – No. 1. – P. 83–104. https://doi.org/10.48550/arXiv.2001.06999.Sebastianc A., Ravichandran V. Radius of starlikeness of certain analytic functions // Math. Slovaca. – 2021. – Vol. 71. – No. 1. – P. 83–104. https://doi.org/10.48550/arXiv.2001.06999.Khatter K., Lee S.K., Ravichandran V. Radius of starlikeness for classes of analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11744 – 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11744.Khatter K., Lee S.K., Ravichandran V. Radius of starlikeness for classes of analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11744 – 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11744.El-Faqeer A.S.A., Mohd M.H., Ravichandran V., Supramaniam S. Starlikeness of certain analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11734 – 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11734.El-Faqeer A.S.A., Mohd M.H., Ravichandran V., Supramaniam S. Starlikeness of certain analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11734 – 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11734.Sharma M., Jain N.K., Kumar S. Constrained radius estimates of certain analytic functions // arXiv:2305.16210v1 [math.CV] – 2023.Sharma M., Jain N.K., Kumar S. Constrained radius estimates of certain analytic functions // arXiv:2305.16210v1 [math.CV] – 2023.Kanaga R., Ravichandran V. Starlikeness for certain close-to-star functions // Hacet. J. Math. Stat. – 2021. – Vol. 50. – No. 2. – P. 414–432. https://doi.org/10.15672/hujms.702703.Kanaga R., Ravichandran V. Starlikeness for certain close-to-star functions // Hacet. J. Math. Stat. – 2021. – Vol. 50. – No. 2. – P. 414–432. https://doi.org/10.15672/hujms.702703.Ali R.M., Jain N.K., Ravichandran V. On the radius constants for classes of analytic functions // arXiv:1207.4529v1 [math.CV]. – 2012. https://doi.org/10.48550/arXiv.1207.4529.Ali R.M., Jain N.K., Ravichandran V. On the radius constants for classes of analytic functions // arXiv:1207.4529v1 [math.CV]. – 2012. https://doi.org/10.48550/arXiv.1207.4529.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.