kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-3-231-242kaz29-2120Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESВЕСОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СУММЫ РЯДОВ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМWEIGHT INEQUALITIES FOR THE SUM OF SERIES WITH RESPECT TO THE MULTIPLICATIVE SYSTEMShttps://orcid.org/0009-0007-1422-8160ТургумбаевМ. Ж.TurgumbaevM. Zh.

к.ф.-м.н., доцент

г. Караганда

Cand.Phys.-Math.Sc., Associate Professor

Karaganda

mentur60@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0002-3632-2303МұхамбетжанМ. А.MukhambetzhanM. A.

докторант

г. Астана 

PhD student

Astana

manshuk-9696@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0005-9114-7247СулейменоваЗ. Р.SuleimenovaZ. R.

к.ф.-м.н., доцент

г. Астана

Cand.Phys.-Math.Sc., Associate Professor 

Astana

zr-s2012@yandex.ruКарагандинский государственный университет им. Е.А. БукетоваКазахстанKaraganda Buketov UniversityKazakhstanЕвразийский национальный университет им. Л.Н. ГумилеваКазахстанEurasian National UniversityKazakhstan202527092025223231242Copyright © Тургумбаев М.Ж., Мұхамбетжан М.А., Сулейменова З.Р., 20252025Тургумбаев М.Ж., Мұхамбетжан М.А., Сулейменова З.Р.Turgumbaev M.Z., Mukhambetzhan M.A., Suleimenova Z.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/2120

В работе рассматриваются ряды по мультипликативным системам Прайса с коэффициентами, принадлежащими классу последовательностей ограниченной вариации. Установлены условия для оценки нормы суммы таких рядов в весовых пространствах Лебега. Условия сформулированы в терминах весовой функции и соответствующей весовой последовательности. Методология включает техники гармонического анализа, преобразование Абеля и критерии Макенхаупта об ограниченности оператора Харди в весовых пространствах Лебега. Кроме того, рассматриваются дискретные трехвесовые неравенства Харди и анализируется их применимость к рассматриваемым рядам. Полученные теоремы устанавливают связь между вариацией коэффициентов и интегральными характеристиками весов. Результаты представляют интерес для дальнейшего исследования в рамках теории рядов, гармонического анализа и задач, связанных с оценками решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах. Работа расширяет область применения известных аналитических техник к более широкому классу функциональных рядов. Результаты сформулированы в виде теорем, связывающих вариацию коэффициентов ряда и интегральные свойства весовой функции. Работа также использует критерии дискретных трехвесовых неравенств Харди и анализирует их применимость к мультипликативным системам. Полученные результаты применимы в задачах гармонического анализа, теории дифференциальных уравнений.

This paper investigates series over Price multiplicative systems with coefficients belonging to the class of sequences of bounded variation. Conditions are obtained for estimating the norm of the sum of such series in weighted Lebesgue spaces. These conditions are formulated in terms of the weight function and the corresponding weight sequence. The methodology relies on techniques of harmonic analysis, the Abel transformation, and the Muckenhoupt criteria for the boundedness of the Hardy operator in weighted Lebesgue spaces. Additionally, discrete three-weight Hardy inequalities are considered, and their applicability to the analyzed series is examined. The main theorems establish a relationship between the variation of the coefficients and the integral characteristics of the weights. The results extend the applicability of known analytical methods to a wider class of functional series and are of interest in harmonic analysis, series theory, and the estimation of solutions to differential equations in functional spaces.

мультипликативные системывзвешенные пространства Лебегапоследовательность из класса ограниченной вариацииоператор Хардиусловия интегрируемостиmultiplicative systemsweighted Lebesgue spacessequence from the class of bounded variationHardy operatorintegrability conditionsИсследование М. Тургумбаев, М. Мухамбетжан выполнено при финансовой поддержке гранта Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (проект № AP26196065). Авторы выражают благодарность Н.А. Бокаеву за поставленную задачу.ReferencesГолубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды Уолша и преобразования. Теория и приложения // Наука. – 1987. – 343 с.Golubov, B.I., Efimov, A.V., Skvortsov, V.A., Walsh Series and Transformations: Theory and Applications (Moscow: Nauka, 1987), 343 p. [In Russian].Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Множества функций и гармонический анализ на нуль-измеримых группах. – Баку: ЭЛМ,1981. – 180 с.Agaev, G.N., Vilenkin, N.Ya., Dzhafarli, G.M., Rubinstein, A.I., Function Sets and Harmonic Analysis on Zero-Dimensional Groups (Baku: Elm, 1981), 180 p. [In Russian].Shipp F., Wade W.R., and Simon P. Walsh Series: An Introduction to Dyadic Analysis. – Adam Hilger, Bristol, 1990.Schipp, F., Wade, W.R., Simon, P., Walsh Series: An Introduction to Dyadic Harmonic Analysis (Bristol: Adam Hilger Ltd., 1990).Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – Univ. Press, 1959.Zygmund, A. Trigonometric Series. Univ. Press, 1959. [In Russian].Тихонов С.Ю. Весовые неравенства для рядов Фурье и ограниченность вариации // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. – 2021. – C. 294–312. https://doi.org/10.4213/tm4130.Tikhonov, S.Yu., Weighted inequalities for Fourier series and bounded variation // Proc. Steklov Inst. Math., 312, 282–300 (2021). https://doi.org/10.1134/S0081543821010193. [In Russian].Bari N.K. Trigonometric Series. – Fizmatgiz, Moscow, 1961.Bari, N.K. Trigonometric Series (Fizmatgiz, Moscow, 1961).Dyachenko M., Mukanov A. and Tikhonov S. Hardy–Littlewood theorems for trigonometric series with general monotone coefficients // Stud. Math. – 2020. – Vol. 250. – No. 3. – P. 217–234. https://doi.org/10.4064/sm180225-13-10.Dyachenko, M., Mukanov, A., and Tikhonov, S. Hardy–Littlewood theorems for trigonometric series with general monotone coefficients // Stud. Math., 250 (3), 217–234 (2020). https://doi.org/10.4064/sm180225-13-10.AndersenF. On the transformation of Fourier coefficients of certain classes of functions. II // Pac. J. Math. – 1983. – Vol. 105. – No. 1. – P. 1–10. https://doi.org/10.2140/pjm.1983.105.1.Andersen, F. On the transformation of Fourier coefficients of certain classes of functions. II. Pac. J. Math., 105 (1), 1–10 (1983). https://doi.org/10.2140/pjm.1983.105.1.Tikhonov S.Yu. On integrability of trigonometric series // Mathematical Notes. – 2005. – Vol. 78. – No. 3. – P. 437–442. https://doi.org/10.4213/mzm2606.Tikhonov, S.Yu. On integrability of trigonometric series // Mathematical Notes., 78 (3), 437–442 (2005). https://doi.org/10.4213/mzm2606.Ari˜no M. and MuckenhouptB. Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy’s inequality with weights for nonincreasing functions // Trans. Am. Math. Soc. – 1990. – Vol. 320. – No. 2. – P. 727–735. https://doi.org/10.2307/2001699.Ari˜no, M. and Muckenhoupt, B. Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy’s inequality with weights for nonincreasing functions. Trans. Am. Math. Soc., 320 (2), 727–735 (1990). https://doi.org/10.2307/2001699.Bennett G., Grosse-Erdmann K.-G. Weighted Hardy inequalities for decreasing sequences and functions // Mathematische Annalen. – 2006. –Vol. 344. – No. 3. – P. 489–531. https://doi.org/10.1007/s00208-005-0678-7.Bennett, G., Grosse-Erdmann, K.-G. Weighted Hardy inequalities for decreasing sequences and functions. Mathematische Annalen., 344 (3), 489–531 (2006). https://doi.org/10.1007/s00208-005-0678-7.Volosivets S.S., Fadeev R.N. Weighted integrability of double series with respect to multiplicative systems // Journal of Mathematical Sciencesю – 2015. – Vol. 209. – No. 1. – P. 51–65. https://doi.org/10.1007/s10958-015-2484-4.Volosivets, S.S., Fadeev, R.N. Weighted integrability of double series with respect to multiplicative systems. Journal of Mathematical Sciences, 209 (1), 51–65 (2015). https://doi.org/10.1007/s10958-015-2484-4.VolosivetsS. S. Absolute convergence of single and double Fourier series on multiplicative systems // Izv. Saratov Univ. Math. Mech. Inform. – 2009. – P. 7–14. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-3-7-14.VolosivetsS, S.Absolute convergence of single and double Fourier series on multiplicative systems. Izv. Saratov Univ. Math. Mech. Inform., 7–14 (2009). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-3-7-14.Bokayev N.A., Mukanov Z.B. Weighted integrability of double trigonometric series and of double series with respect to multiplicative systems with coefficients of class R+0 BV S2 // Math Notes. – 2012. – Vol. 91. – P. 575–578. https://doi.org/10.1134/S0001434612030327Bokayev, N.A., Mukanov, Z.B. Weighted integrability of double trigonometric series and of double series with respect to multiplicative systems with coefficients of class R+0 BV S2. Math Notes, 91, 575–578 (2012). https://doi.org/10.1134/S0001434612030327.Turgumbayev K., Suleimenova A., Mukhambetzhan M. On criteria for weighted integrability of series sums with monotonic coefficients with respect to multiplicative systems // Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series. – 2024. – Vol. 2. – No. 114. – P. 197–210. https://doi.org/10.31489/2024m2/197-210.Turgumbayev, K., Suleimenova, A., Mukhambetzhan, M. On criteria for weighted integrability of series sums with monotonic coefficients with respect to multiplicative systems. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2 (114), 197–210 (2024). https://doi.org/10.31489/2024m2/197-210.Volosivets S.S., Fadeev R.N. Weighted integrability of double series with respect to multiplicative systems. // Fundam. Prikl. Mat. – 2013. – P. 69–87. https://doi.org/10.1007/s10958-015-2484-4.16 .Volosivets, S.S., Fadeev R.N. Weighted integrability of double series with respect to multiplicative systems. Fundam. Prikl. Mat., 69–87 (2013). https://doi.org/10.1007/s10958-015-2484-4.Goldman M.L., Estimates for the norm of integral and discrete operators of Hardy type on cones of quasimonotone functions. // Dokl. Math. – 2001. –Vol. 63. – No. 2. – P. 250–255.Goldman, M.L. Estimates for the norm of integral and discrete operators of Hardy type on cones of quasimonotone functions. Dokl. Math., 63 (2), 250–255 (2001).Гольдман М.Л. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций // Тр. МИАН. – 2001. – Vol. 232. – P. 115–143.Goldman, M.L. Sharp Estimates of Norms of Hardy-Type Operators on Cones of Quasimonotone Functions. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 232, 115–143 (2001). [In Russian].Гогатишвили А., Степанов В.Д. Редукционные теоремы для весовых интегральных неравенств на конусе монотонных функций // УМН. – 2013. – Vol. 68. – No. 4. – P. 3–68. https://doi.org/10.1070/RM2013v068n04ABEH004849.Gogatishvili, A., Stepanov, V.D. Reduction Theorems for Weighted Integral Inequalities on the Cone of Monotone Functions. Russian Mathematical Surveys, 68 (4), 3–68 (2013). https://doi.org/10.1070/RM2013v068n04ABEH004849. [In Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.