kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-2-260-266kaz29-2006Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESПРИМЕРЫ О-МИНИМАЛЬНЫХ ОБОГАЩЕНИЙ ПЛОТНОГО ДЕРЕВА ВСТРЕЧEXAMPLES OF O-MINIMAL EXPANSIONS OF THE DENSE MEET TREEhttps://orcid.org/0000-0001-5177-8523ВербовскийВ. В.VerbovskyV. V.

 д.ф.-м.н., доцент 

 

d.ph.m.sc., docent 

Almaty

verbovskiy@math.kzhttps://orcid.org/0000-0003-0051-870XДаулетияроваА. Б.DauletiyarovaA. B.

магистр 

Алматы

MSc 

Almaty

Kaskelen

 

d_aigera95@mail.ruInstitute of Mathematics and Mathematical Modeling; Satbayev UniversityKazakhstanИнститут математики и математического моделирования; Satbayev UniversityРоссияInstitute of Mathematics and Mathematical Modeling; SDU UniversityRussian Federation202506072025222260266Copyright © Вербовский В.В., Даулетиярова А.Б., 20252025Вербовский В.В., Даулетиярова А.Б.Verbovsky V.V., Dauletiyarova A.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/2006

Понятие о-минимальности является очень продуктивным для линейно упорядоченных структур, но прямой перенос этого понятия на частично упорядоченные множества испытывает некоторые трудности. Действительно, работ по о-минимальным частично упорядоченным структурам очень и очень мало. Стандартное определение о-минимальности для частично упорядоченных структур говорит, что любое формульное подмножество представимо в виде булевой комбинации интервалов и точек. Поскольку булева комбинация включает операцию взятия дополнения множества, а в частично упорядоченных множествах дополнение интервала может быть устроено чрезвычайно сложно, есть определенные сложности в исследовании таким образом определенного класса структур. Мы предлагаем использовать другое определение о-минимальности – частично упорядоченная структура является о-минимальной, если любое ее формульное подмножество является конечным объединением обобщенных интервалов и точек. В статье мы приводим ряд примеров, которые показывают, что данное определение нетривиально, что есть структуры, которые являются о-минимальными в новом смысле.

The notion of o-minimality is highly productive for linearly ordered structures, but a direct transfer of this concept to partially ordered sets encounters certain difficulties. Indeed, there is a striking scarcity of works on o-minimal partially ordered structures. The standard definition of o-minimality for partially ordered structures states that every definable subset is a Boolean combination of intervals and points. However, since Boolean combinations involve the operation of taking set complements, and in partially ordered sets the complement of an interval can be extremely complex, this approach presents certain challenges for studying the resulting class of structures. We propose using an alternative definition of o-minimality: a partially ordered structure is o-minimal if every definable subset is a finite union of generalized intervals and points. In the paper, we provide a number of examples demonstrating that this definition is nontrivial and that there exist structures which are o-minimal in this new sense.

частично упорядоченное множествоо-минимальностьвыпуклое множествосильно минимальная структураpartially ordered seto-minimalityconvex setstrongly minimal structureДанные исследования поддержаны Комитетом науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (грант BR20281002).ReferencesDauletiyarova A. B., Verbovskiy V.V. On the number of countable models of constant and unary predicates expansions of the dense meet-tree theory // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2024. – Vol. 21. – No. 2. – P. 755–770.Dauletiyarova A. B., Verbovskiy V.V. On the number of countable models of constant and unary predicates expansions of the dense meet-tree theory, Siberian Electronic Mathematical Reports, 21 (2), 755–770 (2024).Даулетиярова А.Б., Вербовский В.В. О понятии о-минимальности для частиных порядков на примере плотного дерева встреч: Тезисы докладов «Мальцевские чтения, 2024», Новосибирск, Математический центр в Академгородке, 2024. – C. 239.Dauletiyarova A.B., Verbovskiy V.V. O ponyatii o-minimalnosti dlya chastichnykh poryadkov na primere plotnogo dereva vstrech, Proceeding of “Maltsev Meeting, 2024” (Novosibirsk, Mathematical center in Academgorodok, 2024), p. 239 [in Russian].Kudaibergenov K.Zh. Generalized o-minimality for partial orders // Siberian Adv. Math. – 2013. – Vol. 23. – No 1. – P. 47–60 [in Russian].Kudaibergenov K. Zh. Generalized o-minimality for partial orders. Siberian Adv. Math., 23 (1), 47–60 (2013) [in Russian].Kulpeshov B. Sh. On connectedness in partially ordered structures // AIP Proceedings. – 2016. – Vol. 1759. – P. 020062, https://doi.org/10.1063/1.4969676.Kulpeshov B. Sh. On connectedness in partially ordered structures. AIP Proceedings 1759, 020062 (2016). https://doi.org/10.1063/1.4969676.Emelyanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. Algebras of binary formulas for some partially ordered theories. Algebra and Model Theory 13 (collection of papers edited by A. G. Pinus, E.N. Poroshenko, and S.V. Sudoplatov), NSTU, Novosibirsk, 202, pp. 69–75.Emelyanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. Algebras of binary formulas for some partially ordered theories. Algebra and Model Theory 13 (collection of papers edited by A. G. Pinus, E.N. Poroshenko, and S.V. Sudoplatov) (NSTU, Novosibirsk, 2021), pp. 69–75.Newelski L., Wencel R. Definable sets in Boolean-ordered o-minimal structures // I, The Journal of Symbolic Logic. – 2001. – V. 66. – No. 4. – P. 1821–1836. https://doi.org/10.2307/2694978Newelski L., Wencel R. Definable sets in Boolean-ordered o-minimal structures. I, The Journal of Symbolic Logic, 66 (4), 1821–1836 (2001). https://doi.org/10.2307/2694978.Peretyat'kin M.G. On complete theories with a finite number of denumerable models // Algebra and Logic. – 1973. – Vol. 12. – No. 5. – P. 310–326.Peretyat'kin M. G. On complete theories with a finite number of denumerable models, Algebra and Logic, 12 (5), 310–326 (1973).Sudoplatov S.V., Verbovskiy V.V. On the concepts of convexity and weak o-minimality for partially ordered structures // Herald of the Kazakh-British technical university. 2024. – Vol. 21. – No. 1. – P. 75–84 [in Russian]. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-1-75-84.Sudoplatov S.V., Verbovskiy V.V. On the concepts of convexity and weak o-minimality for partially ordered structures, Herald of the Kazakh-British technical university, 21 (1), 75–84 (2024) [in Russian]. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-1-75-84.Toffalori C. Lattice ordered o-minimal structures // Notre Dame Journal of Formal Logic. – 1998. – Vol. 39. – No. 4. – P. 447–463. https://doi.org/10.1305/ndjfl/1039118862.Toffalori C. Lattice ordered o-minimal structures, Notre Dame Journal of Formal Logic, 39 (4), 447–463 (1998). https://doi.org/10.1305/ndjfl/1039118862.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.