kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-2-177-187kaz29-1998Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESОБ ОДНОЙ АППРОКСИМАЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМON THE APPROXIMATION OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DELAY INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONShttps://orcid.org/0000-0002-3820-5373БакироваЭ. А.BakirovaE. A.

 канд. физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник 

 Алматы 

 Cand. Phys.-Math. Sc., Leading Researcher 

 Almaty 

bakirova1974@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-0680-4099ИскаковаН. Б.IskakovaN. B.

 канд. физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник 

 Алматы 

 Cand. Phys.-Math. Sc., Leading Researcher 

 Almaty 

narkesh77@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-1835-2501ИманчиевА. Е.ImanchievA. E.

 канд. физ.-матем. наук, ассоциированный профессор 

 Алматы 

 Актобе 

 Cand. Phys.-Math. Sc., Associate Professor 

 Almaty 

 Aktobe 

imanchiev_ae@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-7786-5262КаракеноваС. Г.КаrakenovaS. G.

 PhD, ст. преподаватель 

 Алматы 

 Атырау 

PhD, Senior Lecturer

Almaty 

Atyrau 

sayakhat.karakenova05@gmail.comИнститут математики и математического моделирования; Казахский национальный женский педагогический университетКазахстанInstitute of Mathematics and Mathematical Modelingж Kazakh National Women's Teacher Training UniversityKazakhstanИнститут математики и математического моделированияКазахстанInstitute of Mathematics and Mathematical ModelingKazakhstanИнститут математики и математического моделирования; Актюбинский региональный университет им. К. ЖубановаКазахстанInstitute of Mathematics and Mathematical Modeling; K. Zhubanov Aktobe Regional UniversityKazakhstanИнститут математики и математического моделирования Атырауский университет им. Х. ДосмухамедоваКазахстанInstitute of Mathematics and Mathematical Modelingж Kh. Dosmukhamedov Atyrau UniversityKazakhstan202506072025222177187Copyright © Бакирова Э.А., Искакова Н.Б., Иманчиев А.Е., Каракенова С.Г., 20252025Бакирова Э.А., Искакова Н.Б., Иманчиев А.Е., Каракенова С.Г.Bakirova E.A., Iskakova N.B., Imanchiev A.E., Каrakenova S.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1998

На конечном интервале исследуется линейная двухточечная краевая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений с постоянным запаздывающим аргументом. Делением интервала на части интегральный член интегро-дифференциального уравнения с постоянным запаздывающим аргументом заменяется квадратурной формулой. При такой замене линейная двухточечная краевая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений с постоянным запаздывающим аргументом аппроксимируется линейной краевой задачей для системы нагруженных дифференциальных уравнений с постоянным запаздывающим аргументом. Вводятся определения корректной разрешимости как для краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, так и для построенной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием. Установлены условия корректной разрешимости линейной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и линейной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Показана взаимосвязь между корректными разрешимостями линейной двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с постоянным запаздывающим аргументом и аппроксимирующей ее линейной двухточечной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений с постоянным запаздывающим аргументом.

A linear two-point boundary value problem for a system of integro-differential equations with a constant delay argument is investigated on a finite interval. By dividing the interval by parts, the integral term of the integrodifferential equation with constant delay argument is replaced by the quadrature formula. With this replacement, the linear two-point boundary value problem for a system of integro-differential equations with a constant delay argument is approximated by the linear boundary value problem for a system of loaded differential equations with a constant delay argument. Definitions of correct solvability of boundary value problem for system of integro-differential equations with delay argument and constructed boundary value problem for system of loaded differential equations with constant delay argument are introduced. Conditions of correct solvability of linear boundary value problem for system of integro-differential equations with delay argument and linear boundary value problem for system of loaded differential equations with delay argument are established. Relationship between correct solvabilities of linear two-point boundary value problem for system of integro-differential equations with constant delay argument and approximating linear two-point boundary value problem for system of loaded differential equations with constant delay argument is shown.

интегро-дифференциальное уравнение с запаздываниемнагруженное дифференциальное уравнение с запаздываниемкраевая задачакорректная разрешимостьвзаимосвязьаппроксимацияDelay integro-differential equationdelay loaded differential equationboundary value problemcorrect solvabilityinterrelationapproximationБұл зерттеулерге Қазақстан Республикасы Ғылым және Жоғары Білім министрлігінің Ғылым комитеті қолдау көрсетті (Грант AP23486114).ReferencesSchmitt K. Delay and functional differential equations and their applications. – Academic Press, USA, 2014.Schmitt K. Delay and functional differential equations and their applications, Academic Press, USA, 2014.Hale J.K. Theory of dunctional differential equations. – Springer-Verlag, New York, Heidelberg Berlin, 1977.Hale J.K. Theory of dunctional differential equations, Springer-Verlag, New York, Heidelberg Berlin, 1977.Kuang Y. Delay differential equations: with applications in population dinamics. – Academic Press, USA, 2012.Kuang Y. Delay differential equations: with applications in population dinamics, Academic Press, USA, 2012.Fathalla A. Rihan. Delay differential equations and applications to biology. – Springer, Singapore, 2021.Fathalla A. Rihan. Delay differential equations and applications to biology, Springer, Singapore, 2021.Glagolev M., Sabrekov A., Goncharov V. Delay differential equations as a tool for mathematical modelling of population dynamic // Environ. Dyn. Glob. Clim. Chang. – 2018. – Vol. 9. – No. 2. – P. 40–63.Glagolev M., Sabrekov A., Goncharov V. Delay differential equations as a tool for mathematical modelling of population dynamic, Environ. Dyn. Glob. Clim. Chang., 9(2), 40–63 (2018).Bellour A., Bousselsal M. Numerical solution of delay integro-differential equations by using Taylor collocation method // Math. Methods Appl. Sci. – 2014. – Vol. 37. – No. 10. – P. 1491–1506. https://doi.org/10.1002/mma.2910.Bellour A., Bousselsal M. Numerical solution of delay integro-differential equations by using Taylor collocation method, Math. Methods Appl. Sci., 37(10), 1491–1506 (2014). https://doi.org/10.1002/mma.2910.El-Hawary H., El-Shami K. Numerical solution of volterra delay integro-differential equations via spline and spectral methods // Int. J. Differ. Equ. Appl. – 2013. – Vol. 12. – No.3. – P. 149–157. http://dx.doi.org/10.12732/ijdea.v12i3.1011.El-Hawary H., El-Shami K. Numerical solution of volterra delay integro-differential equations via spline and spectral methods, Int. J. Differ. Equ. Appl., 12(3), 149–157 (2013). http://dx.doi.org/10.12732/ijdea.v12i3.1011.Yuzbasi S., Gok E., Sezer M. Muntz Legendre matrix method to solve the delay Fredholm integrodifferential equations with constant coefficients // New Trends Math. Sci. – 2015. – Vol. 3. – No. 2. – P. 159–167.Yuzbasi S., Gok E., Sezer M. Muntz Legendre matrix method to solve the delay Fredholm integrodifferential equations with constant coefficients, New Trends Math. Sci., 3(2), 159–167 (2015).Hetmaniok E., Pleszczynski M., Khan Y. Solving the integral-differential equations with delayed argument by using the DTM method // Sensors. – 2022. – Vol. 22. – 4124. https://doi.org/10.3390/s.22114124.Hetmaniok E., Pleszczynski M., Khan Y. Solving the integral-differential equations with delayed argument by using the DTM method, Sensors., 22, 4124 (2022). https://doi.org/10.3390/s.22114124.Shahmorad S., Ostadzad M. An operational matrix method for solving delay Fredholm and Volterra integro–differential equations // Int. J. Comput. Methods. – 2016. – Vol. 13. – No. 6. –1650040. https://doi.org/10.1142/S0219876216500407.Shahmorad S., Ostadzad M. An operational matrix method for solving delay Fredholm and Volterra integro–differential equations, Int. J. Comput. Methods, 13(6), 1650040 (2016). https://doi.org/10.1142/S0219876216500407.Lalli B.S., Zhang B.G. Boundary value problems for second-order functional differential equations // Ann. Differ. Equ. – 1992. – Vol. 8. – No. 3. – P. 261–268.Lalli B.S., Zhang B.G. Boundary value problems for second-order functional differential equations, Ann. Differ. Equ., 8(3), 261–268 (1992).Weng P.X. Boundary value problems for second order mixed-type functional-differential equations // Apl. Math. – 2012. – Vol. 12. – No. 2. – P. 155–164. https://doi.org/10.1016/j.na.2005.02.031.Weng P.X. Boundary value problems for second order mixed-type functional-differential equations, Apl. Math., 12(2), 155–164 (2012). https://doi.org/10.1016/j.na.2005.02.031.Ntouyas S.K., Sficas Y.G., TsamatosLiu P.Ch. An existence principle for boundary value problems for second order functional-differential equations // Nonl. Anal.: Theory Methods Appl. – 1993. – Vol. 20. – No. 3. – P. 215–222. https://doi.org/10.1016/0362-546X.Ntouyas S.K., Sficas Y.G., TsamatosLiu P.Ch. An existence principle for boundary value problems for second order functional-differential equations, Nonl. Anal.: Theory Methods Appl., 20(3), 215–222 (1993). https://doi.org/10.1016/0362-546X.Bai D., Xu Y. Existence of positive solutions for boundary-value problems of second-order delay differential equations // Appl. Math. Lett. – 2005. – Vol. 18. – No. 6. – P. 621–630. https://doi.org/10.1016/j.aml.2004.07.022.Bai D., Xu Y. Existence of positive solutions for boundary-value problems of second-order delay differential equations, Appl. Math. Lett., 18(6), 621–630 (2005). https://doi.org/10.1016/j.aml.2004.07.022.Iskakova N. Корректная разрешимость периодической краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник КазНУ им. аль-Фараби, Сер. математика, механика и информатика, – 2005. – Vol. 45. – No. 2. – P. 35–46.Iskakova N. Korrektnaja razreshimost' periodicheskoj kraevoj zadachi dlja sistemy differencial'nyh uravnenij s zapazdyvajushhim argumentom, Vestnik KazNU im. al'-Farabi, Ser. matematika, mehanika i informatika, 45(2), 35–46 (2005) [in Russian].Iskakova N., Temesheva S., Uteshova R. On a problem for a delay differential equation // Math. Meth. Appl. Sci. – 2023. – Vol. 46. – No. 9. – P. 11283–11297. https://doi.org/10.1002/mma.9181.Iskakova N., Temesheva S., Uteshova R. On a problem for a delay differential equation, Math. Meth. Appl. Sci., 46(9), 11283–11297 (2023). https://doi.org/10.1002/mma.9181.Dzhumabayev D. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation // U.S.S.R. Comp. Math. Math. Phys. – 1989. – Vol. 29. – No. 1. – P. 34–46.Dzhumabayev D. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation, U.S.S.R. Comp. Math. Math. Phys., 29(1), 34–46 (1989).Dzhumabayev D.S., Bakirova E.A. Criteria for the well-possedness of a linear two-point boundary value problem for systems of integro-differential equations, // Differential equations. – 2010. – Vol. 46. – No. 4. – P. 553–567.Dzhumabayev D.S., Bakirova E.A. Criteria for the well-possedness of a linear two-point boundary value problem for systems of integro-differential equations, Differential equations, 46(4), 553–567 (2010).Джумабаев Д.С., Бакирова Э.А. Критерий корректной разрешимости двухточечной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений // Известия НАН РК, Сер. физ.-мат. – 2007. – Vol. 3. – P. 47–51.Dzhumabaev D.S., Bakirova Je.A. Kriterij korrektnoj razreshimosti dvuhtochechnoj kraevoj zadachi dlja sistem integro-differencial'nyh uravnenij, Izvestija NAN RK, Ser. fiz.-mat., 3, 47–51 (2007) [in Russian].Бакирова Э.А., Джумабаев Д.С. Oб одной аппроксимации линейной двухточечной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения // Математический журнал. – 2005. – Vol. 5. – No. 4. – P. 34–44.Bakirova Je.A., Dzhumabaev D.S. Ob odnoj approksimacii linejnoj dvuhtochechnoj kraevoj zadachi dlja integro-differencial'nogo uravnenija, Matematicheskij zhurnal, 5(4), 34–44 (2005) [in Russian].Dzhumabayev D.S., Bakirova E.A. Criteria for the unique solvability of a linear two-point boundary value problem for systems of integro-differential equations, // Differential equations. – 2013. – Vol. 49. – No. 9. – P. 1–16.Dzhumabayev D.S., Bakirova E.A. Criteria for the unique solvability of a linear two-point boundary value problem for systems of integro-differential equations, Differential equations, 49(9), 1–16 (2013).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.