kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-2-165-176kaz29-1997Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESО НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ДВАЖДЫ ПОЧТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙON SOME CLASSES OF DOUBLY NEARLY CONVEX FUNCTIONShttps://orcid.org/0000-0002-2278-2723МайерФ. Ф.MaiyerF. F.

 канд. физ.-матем. наук, профессор 

 г. Костанай 

 Cand. Phys.-Math. Sc., Professor 

 Kostanay 

maiyer@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0003-1926-8958ТастановМ. Г.TastanovM. G.

 канд. физ.-матем. наук, профессор 

 г. Костанай 

 Cand. Phys.-Math. Sc., Professor 

 Kostanay 

tastao@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-5143-0260УтемисоваА. А.UtemissovaA. A.

 канд. пед. наук 

 г. Костанай 

 Cand. Ped. Sc. 

 Kostanay 

anar_utemisova@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0007-6594-7958ЫсмағұлР. С.YsmagulR. S.

 канд. физ.-матем. наук, профессор 

 г. Костанай 

 Cand. Phys.-Math. Sc., Professor 

 Kostanay 

ismagulr@mail.ruКостанайский региональный университет им. Ахмета БайтұрсынұлыКазахстанAkhmet Baitursynuly Kostanay Regional UniversityKazakhstan202506072025222165176Copyright © Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Ысмағұл Р.С., 20252025Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Ысмағұл Р.С.Maiyer F.F., Tastanov M.G., Utemissova A.A., Ysmagul R.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1997

На основе результатов, полученных авторами в одной из предыдущих статей (Вестник Казахстанско-Британского технического университета, 2024, 21(2), С.127–138), вводится и исследуется класс дважды почти выпуклых в единичном круге функций , заданный с помощью условий

где функции , и имеют разложения вида , и функция является выпуклой. В данном классе установлены теоремы искажения, вращения и радиус выпуклости. В частных случаях получается как ряд ранее известных, так и ряд новых оригинальных результатов для дважды почти выпуклых и почти выпуклых функций. На основе данного класса вводится класс дважды почти звездообразных функций, для которого найдены теорема роста и радиус звездообразности. При конкретных значениях параметров получаются ранее известные результаты для почти звездообразных функций.

 Based on the results obtained by the authors in one of the previous articles (Bulletin of the Kazakh-British Technical University, 2024, 21(2), pp.127-138), the class of doubly close-to-convex in the unit disk of the functions f(z), set using the conditions 

 where the functions f(z), g(z) and h(z) have expansions of the form 

, and the function h(z) is convex. In this class, the theorems of distortion, rotation and radius of convexity are established. In particular cases, we obtain both a number of previously known and a number of new original results for doubly close-to-convex and close-to-convex functions. Based on this class, a class of doubly close-to-starlike functions is introduced, for which the growth theorem and the star radius are found. For specific values of the parameters previously known results for close-to-starlike functions are obtained.

однолистные функциипочти выпуклые функции. почти звездообразные функциирадиус выпуклостирадиус звездообразностиunivalent functionsclose-to-convex functionsclose-to-starlike functionsradius of convexityradius of starlikenessReferencesМайер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Ысмағұл Р.С. Точные оценки регулярных функций и радиусы выпуклости и звездообразности некоторых классов звездообразных и почти звездообразных функций // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2024. – Vol. 21. – No. 2. – С. 127–138. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-2-127-138.Maiyer F.F., Tastanov M.G., Utemissova A.A. and Ysmagul R.S. Exact estimates of regular functions and radii of convexity and starlikeness of some classes of starlike and close-to-starlike functions. Herald of the Kazakh-British technical university, 21(2), 127–138 (2024). [In Russian]. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-2-127-138.Suffridge T.J. Some remarks on convex maps of the unit disk // Duke Math. J. – 1970. – No. 37. – P. 755–777. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-70-03792-0.Suffridge T.J. Some remarks on convex maps of the unit disk. Duke Math. J., 37, 755–777 (1970). https://doi.org/10.1215/S0012-7094-70-03792-0.Kaplan W. Close-to-convex schlicht functions // Michigan Math. J. – 1952. – Vol.1. – No. 2. – P. 169–185. https://doi.org/10.1307/mmj/1028988895.Kaplan W. Close-to-convex schlicht functions. Michigan Math. J., 1(2), 169–185 (1952). https://doi.org/10.1307/mmj/1028988895.Reade M.O. The coefficients of close-to-convex functions // Duke Math. J. – 1956. – Vol. 23. – No. 3. – P. 459–462. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-56-02342-0.Reade M.O. The coefficients of close-to-convex functions. Duke Math. J., 23(3), 459–462 (1956). https://doi.org/10.1215/S0012-7094-56-02342-0.Renyi A. Some remarks on univalent functions // An. Univ. Maria Curie-Sklodowska, Sec. – 1959. – A.3. – P. 111–121. http://sci-gems.math.bas.bg:8080/jspui/bitstream/10525/2878/1/1959-111-121.pdf.Renyi A. Some remarks on univalent functions. An. Univ. Maria Curie-Sklodowska, Sec., A.3, 111–121 (1959). http://sci-gems.math.bas.bg:8080/jspui/bitstream/10525/2878/1/1959-111-121.pdfHengartner W., Schober G. Analytic functions close to mappings convex in one direction. // Proc. Amer. Math. Soc. – 1971. – Vol. 28. – No. 2. – P. 519–524. https://www.ams.org/journals/proc/1971-028-02/S0002-9939-1971-0277704-9/S0002-9939-1971-0277704-9.pdfHengartner W. and Schober G. Analytic functions close to mappings convex in one direction. Proc. Amer. Math. Soc., 28(2), 519–524 (1971). https://www.ams.org/journals/proc/1971-028-02/S0002-9939-1971-0277704-9/S0002-9939-1971-0277704-9.pdfDorff M., Naraniecka I., Szynal J. Doubly close-to-convex functions // J. Math. Anal. Appl. – 2004. – No. 290. – P. 55–62. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2003.08.050.Dorff M., Naraniecka I. and Szynal J. Doubly close-to-convex functions. J. Math. Anal. Appl., 290, 55–62 (2004). https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2003.08.050Raducanu D. Bounded doubly close-to-convex functions. – Hindawi Publishing Corporation, Abstract and Applied Analysis. – 2014. – Article ID 804095. – P. 7. http://dx.doi.org/10.1155/2014/804095.Raducanu D. Bounded doubly close-to-convex functions. Hindawi Publishing Corporation, Abstract and Applied Analysis, Article ID 804095, 7 p. (2014). http://dx.doi.org/10.1155/2014/804095.Krzyz J. On the derivative of close-to-convex functions // Colloq. Math. – 1963. – No. 10. – P. 143–146.Krzyz J. On the derivative of close-to-convex functions. Colloq. Math., 10, 143–146 (1963).Hayman W.K. Multivalent functions // Cambridge Tracts in Mathematics. – 1994. – No. 110. – 276 p.Hayman W.K. Multivalent functions. Cambridge Tracts in Mathematics, 110, 276 p. (1994)Vasudevarao A., Sokół J., Thomas D.K. On a close-to-convex analogue of certain starlike functions // Bull. Aust. Math. Soc. – 2020. – Vol. 102. – No. 2. – P. 268–281. https://doi.org/10.1017/S0004972719001606.Vasudevarao A., Sokół J. and Thomas D.K. On a close-to-convex analogue of certain starlike functions. Bull. Aust. Math. Soc., 102, Is. 2, 268-281 (2020). https://doi.org/10.1017/S0004972719001606Ratti J.S. The radius of convexity of certain analytic functions II // Intern. J. of Math. and Math. Scie. – 1980. – Vol. 3. – No. 3. – P. 483–489. https://doi.org/10.1155/s0161171280000361.Ratti J.S. The radius of convexity of certain analytic functions II. Intern. J. of Math. and Math. Scie., 3(3), 483–489 (1980). https://doi.org/10.1155/s0161171280000361Reade M.O. On close-to-close univalent functions // Michigan Math. J. – 1955. – No. 3. – P. 59–62.Reade M.O. On close-to-close univalent functions. Michigan Math. J., 3, 59-62 (1955).El-Faqeer A.S.A., Mohd M.H., Ravichandran V., Supramaniam S. Starlikeness of certain analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11734. – 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11734.El-Faqeer A.S.A., Mohd M.H., Ravichandran V. and Supramaniam S. Starlikeness of certain analytic functions. arXiv preprint arXiv:2006.11734 (2020). https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11734.Sebastianc A., Ravichandran V. Radius of starlikeness of certain analytic functions // Math. Slovaca. – 2021. – Vol. 71. – No. 1. – P. 83–104. https://doi.org/10.1515/ms-2017-0454.Sebastianc A. and Ravichandran V. Radius of starlikeness of certain analytic functions. Math. Slovaca, 71(1), 83-104 (2021). https://doi.org/10.1515/ms-2017-0454.Khatter K., Lee S.K., Ravichandran V. Radius of starlikeness for classes of analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11744. – 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11744.Khatter K., Lee S. K. and Ravichandran V. Radius of starlikeness for classes of analytic functions. arXiv preprint arXiv:2006.11744 (2020). https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11744

The authors declare that there are no conflicts of interest present.