kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-1-259-270kaz29-1751Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА С УЧЕТОМ УДВОЕННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫAPPLICATION OF THE FICTITIOUS DOMAIN METHOD FOR SOLVING THE NAVIER-STOKES EQUATIONS CONSIDERING THE DOUBLED MEAN CURVATUREhttps://orcid.org/0000-0001-7542-3778ТемирбековН. М.TemirbekovN. M.

доктор физико-математических наук, профессор, академик НИА РК, член-корреспондент НАН РК 

г. Алматы

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Academician of NEA RK, Corresponding Member of NAS RK 

 Almaty 

temirbekov@rambler.ruhttps://orcid.org/0009-0000-1566-1926ЖаксылыковаЖ. Р.ZhaksylykovaZh. R.

 сениор-лектор 

г. Усть-Каменогорск

 Senior Lecturer  

 Ust-Kamenogorsk 

zhaksylykova0507@mail.ruКазахский национальный университет им. аль-Фараби,КазахстанAl-Farabi Kazakh National UniversityKazakhstanВосточно-Казахстанский университет им. С. АманжоловаКазахстанSarsen Amanzholov East Kazakhstan UniversityKazakhstan202526032025221259270Copyright © Темирбеков Н.М., Жаксылыкова Ж.Р., 20252025Темирбеков Н.М., Жаксылыкова Ж.Р.Temirbekov N.M., Zhaksylykova Z.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1751

В данной работе рассматривается начально-краевая задача для нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в ограниченной области, решаемая с использованием системы нелинейных уравнений Навье-Стокса. Уравнения описывают движение жидкости с учетом вязкости, давления и массовой силы, а также условия соленоидальности поля скорости. В общем случае нахождение аналитического решения системы уравнений представляет значительные трудности, и до сих пор не доказано, существует ли всегда гладкое решение для всех возможных условий. В связи с этим для решения задачи применяется метод фиктивных областей, позволяющий свести задачу к решению системы дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями. Особое внимание уделяется введению понятия удвоенной средней кривизны поверхности, которая необходима для применения метода фиктивных областей. Для этого в статье приводится подробное вычисление средней кривизны с использованием параметризации поверхности и матриц первой и второй форм. Также приводится доказательство леммы, связанной с вычислением удвоенной средней кривизны, что имеет важное значение для дальнейших численных методов решения системы уравнений Навье-Стокса. Полученные результаты расширяют область применения метода фиктивных областей в решении задач гидродинамики, особенно в сложных геометриях, и могут быть использованы для разработки более экономичных численных алгоритмов.

In this paper, we consider an initial-boundary value problem for an unsteady flow of a viscous incompressible fluid in a bounded region, solved using a system of nonlinear Navier-Stokes equations. The equations describe the motion of the fluid considering viscosity, pressure, and mass force, as well as the solenoidality condition of the velocity field. In the general case, finding an analytical solution to the system of equations presents significant difficulties, and it has not yet been proven whether there is always a smooth solution for all possible conditions. In this regard, the fictitious domain method is used to solve the problem, which allows us to reduce the problem by solving a system of differential equations with appropriate boundary conditions. Particular attention is paid to introducing the concept of twice the mean curvature of the surface, which is necessary for the correct application of the fictitious domain method. For this purpose, the article provides a detailed calculation of the mean curvature using surface parameterization and matrices of the first and second forms. Proof of a lemma related to the calculation of twice the mean curvature is also given, which is of great importance for further numerical methods for solving the Navier-Stokes system of equations. The obtained results expand the scope of application of the fictitious domain method in solving hydrodynamic problems, especially in complex geometries, and can be used to develop more efficient numerical algorithms.

уравнения Навье-Стоксаметод фиктивных областейфункциональные пространстваудвоенная средняя кривизнаNavier-Stokes equationsviscous incompressible fluidinitial-boundary value problemfictitious domain methodfunctional spacesdouble mean curvatureРабота выполнена при финансовой поддержке Комитета науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан, ИРН AP22688601, 2024–2026 гг.ReferencesВабищевич П.Н. Метод фиктивных областей для задачи математической физики. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 156 с.Vabishhevich P.N. (1991) Metod fiktivnyh oblastej dlja zadachi matematicheskoj fiziki. M.:Izd-vo MGU, 156 p. [in Russian]Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. – 3-е изд. Singapure et al.: World Scientific, 1994. – 173 с.Konovalov A.N. (1994) Zadachi fil'tracii mnogofaznoj neszhimaemoj zhidkosti. Singapure et al.: World Scientific, 173 p. [in Russian]Glowinski R. and Kuznetsov Y.A. Distributed Lagrange multipliers based on fictitious domain method for second order elliptic problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2007. – Vol. 196. – P. 1498–1506.Glowinski R. and Kuznetsov Y.A. (2007) Distributed Lagrange multipliers based on fictitious domain method for second order elliptic problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 196, pp. 1498–1506.Glowinski R., Pan T., Hesla T.I., Joseph D.D. and Periaux J. A distributed Lagrange multiplier/fictitious domain method for the simulation of flow around moving rigid bodies: Application to particulate flow // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2000. – Vol. 184. – P. 241–267.Glowinski R., Pan T., Hesla T.I., Joseph D.D. and Periaux J. (2000) A distributed Lagrange multiplier/fictitious domain method for the simulation of flow around moving rigid bodies: Application to particulate flow. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 184, pp. 241–267.Girault V., Glowinski R., López H. and J.P. Vila. A boundary multiplier/fictitious domain method for the steady incompressible Navier-Stokes equations // Numerische Mathematik. – 2001. – Vol. 88. – P. 75–103.Girault V., Glowinski R., López H. and J.P. Vila. (2001) A boundary multiplier/fictitious domain method for the steady incompressible Navier-Stokes equations. Numerische Mathematik, vol. 88, pp. 75–103.Glowinski R., Pan T., Hesla T.I., Joseph D.D. and J. Périaux. A Fictitious Domain Approach to the Direct Numerical Simulation of Incompressible Viscous Flow past Moving Rigid Bodies: Application to Particulate Flow // Journal of Computational Physics. – 2001. – Vol. 169. – P. 363–426.Glowinski R., Pan T., Hesla T.I., Joseph D.D. and J. Périaux. (2001) A Fictitious Domain Approach to the Direct Numerical Simulation of Incompressible Viscous Flow past Moving Rigid Bodies: Application to Particulate Flow. Journal of Computational Physics, vol. 169, pp. 363–426.Темирбеков Н.М. Приближенные методы решения уравнений вязкой жидкости в областях со сложной геометрией. – Алматы, 2000. – 143 с.Temirbekov N.M. (2000) Priblizhennye metody reshenija uravnenij vjazkoj zhidkosti v oblastjah so slozhnoj geometriej, Almaty,143 p. [in Russian]Смагулов Ш.С., Данаев Н.Т., Темирбеков Н.М. Моделирование краевых условий для давления и полного напора в задачах гидродинамики с помощью метода фиктивных областей // Доклады Академии наук России. – 2000. – Т. 374. – № 3. – С. 333–335.Smagulov Sh.S., Danaev N.T., Temirbekov N.M. (2000) Modelirovanie kraevyh uslovij dlja davlenija i polnogo napora v zadachah gidrodinamiki s pomoshh'ju metoda fiktivnyh oblastej. Doklady Akademii nauk Rossii, vol. 374, no. 3, pp. 333–335. [in Russian]Orunkhanov M.K., Smagulov Sh.S. The method of fictitious domains for the Navier-Stokes equations in terms of stream function and velocity of the vortex with inhomogeneous boundary conditions //Computational technologies.Novosibirsk: SB RAS. – 2000. – Vol. 5. – No. 3. – P. 46–53. [in Russian]Orunkhanov M.K., Smagulov Sh.S. (2000) The method of fictitious domains for the Navier-Stokes equations in terms of stream function and velocity of the vortex with inhomogeneous boundary conditions. Computational technologies.Novosibirsk: SB RAS, vol. 5, no. 3, pp. 46–53. [in Russian]Smagulov Sh.S., Temirbekov N.M., Kamaubaev K.S. Modeling by the method of fictitious regions of the boundary condition for pressure in fluid flow problems // Siberian Journal of Computational Mathematics. – Novosibirsk: SB RAS, 2000. – Vol. 3. – No. 1. – P. 57–71.Smagulov Sh.S., Temirbekov N.M., Kamaubaev K.S. (2000) Modeling by the method of fictitious regions of the boundary condition for pressure in fluid flow problems. Siberian Journal of Computational Mathematics, Novosibirsk: SB RAS, vol.3, no. 1, pp. 57–71.Smagulov Sh.S., Otelbaev M.O. On a new method of approximate solutions of nonlinear equations in an arbitrary domain // Computational Technology. – 2001. – Vol. 6. – No. 6. – P. 93–107.Smagulov Sh.S., Otelbaev M.O. (2001) On a new method of approximate solutions of nonlinear equations in an arbitrary domain. Computational Technology, vol. 6, no. 6, pp. 93–107.Temirbekov A.N., Danaev N.T. The method of fictitious regions for the model of the atmospheri boundary layer // Bulletin of KazNU, Mathematics, Mechanics, computer science series. – 2014. – No. 2(81). – P. 98–107.Temirbekov A.N., Danaev N.T. (2014) The method of fictitious regions for the model of the atmospheri boundary layer. Bulletin of KazNU, Mathematics, Mechanics, computer science series, no. 2(81), pp. 98–107.Temirbekov A.N., Wójcik W. Numerical Implementation of the Fictitious Domain Method for Elliptic Equations // International Journal of Electronics and Telecommunications. – 2014. – Vol. 60. – No. 3. – P. 219–223.Temirbekov A.N., Wójcik W. (2014) Numerical Implementation of the Fictitious Domain Method for Elliptic Equations. International Journal of Electronics and Telecommunications, vol. 60, no. 3, pp. 219–223.Temirbekov A.N. Numerical implementation of the method of fictitious domains for elliptic equations // 3rd International Conference on Analysis and Applied Mathematics. – ICAAM 2016. – Vol. 1759. – P. 020053-1–020053-6. https://doi.org/10.1063/1.4959667.Temirbekov A.N. (2016) Numerical implementation of the method of fictitious domains for elliptic equations. 3rd International Conference on Analysis and Applied Mathematics, ICAAM, vol. 1759, pp. 020053-1–020053-6. https://doi.org/10.1063/1.4959667.Temirbekov A., Malgazhdarov Y., Tleulessova A., Temirbekova L. Fictitious Domain Method for the Navier-Stokes Equations. – Известия НАН РК. Серия физико-математическая. – 2021. – № 3. – С. 138–147.Temirbekov A., Malgazhdarov Y., Tleulessova A., Temirbekova L. (2021) Fictitious Domain Method for the Navier-Stokes Equations, Izvestija NAN RK. Serija fiziko-matematicheskaja, no. 3, pp. 138–147.Temirbekov A., Zhaksylykova Z., Malgazhdarov Y., Kasenov S. Application of the Fictitious Domain Method for Navier-Stokes Equations // Computers, Materials & Continua. – 2022. – No. 73(1). – P. 2035–2055. https://doi.org/10.32604/cmc.2022.027830.Temirbekov A., Zhaksylykova Z., Malgazhdarov Y., Kasenov S. (2022) Application of the Fictitious Domain Method for Navier-Stokes Equations. Computers, Materials & Continua, no. 73(1), pp. 2035–2055. https://doi.org/10.32604/cmc.2022.027830.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.