kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-1-247-258kaz29-1750Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESНАХОЖДЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХFINDING LOGARITHMIC SOLUTIONS TO A SYSTEM OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONShttps://orcid.org/0000-0001-9728-8378ТалиповаМ. Ж.TalipovaM. Zh.

 кандидат физико-математических наук, доцент 

 г. Актобе 

 Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor 

 Аktobe 

mira_talipova@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-5847-9881БекбауоваА. У.BekbauovaA. U.

 кандидат физико-математических наук, доцент 

 г. Актобе 

 Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor 

 Аktobe 

mirra478@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0006-4443-2579СейловаР. Д.SeilovaR. D.

 кандидат физико-математических наук, доцент 

 г. Актобе 

 Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor 

 Аktobe 

roza_seilova@mail.ruАктюбинский региональный университет им. К. ЖубановаКазахстанAktobe Regional University named after K. ZhubanovKazakhstan202526032025221247258Copyright © Талипова М.Ж., Бекбауова А.У., Сейлова Р.Д., 20252025Талипова М.Ж., Бекбауова А.У., Сейлова Р.Д.Talipova M.Z., Bekbauova A.U., Seilova R.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1750

Цель настоящей работы заключается в исследовании логарифмических решений системы дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными, а также в установлении условий их существования и характеристике их свойств. Особое внимание уделяется нахождению таких решений с помощью метода Фробениуса-Латышевой в окрестности регулярной особой точки Разработан метод нахождения рекуррентных соотношений для существующих логарифмических решений, когда простые значения корней определяющих уравнений отличаются на целые числа. На конкретном примере показано, как построить логарифмическое решение для однородной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

The purpose of this work is to study logarithmic solutions of a system of second-order partial differential equations, as well as to establish the conditions of their existence and characterize their properties. Special attention is paid to finding such solutions using the Frobenius-Latysheva method in the vicinity of a regular singular point (0,0). A method has been developed for finding recurrence relations for existing logarithmic solutions when the simple roots of the defining equations differ by integers. A concrete example shows how to construct a logarithmic solution for a homogeneous system of partial differential equations of the second order.

однородная системалогарифмическое решениеопределяющие уравнениемногочленаналитическая функциярядрегулярная особая точкаметод Фробениуса-Латышевойhomogeneous systemlogarithmic solutiondefining equationpolynomialanalytical functionseriesregular singular pointFrobenius-Latysheva methodДанное исследование финансировалось Комитетом науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (ИРН AP19675358).ReferencesТрикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. – М.: ИЛ, 1957. – 443 c.Trikomi F. (1957) Lekcii po uravnenijam v chastnyh proizvodnyh, 443 p. [in Russian]Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. – М.: Наука, 1964. – 206 c.Smirnov M.M. (1964) Differencial'nye uravnenija v chastnyh proizvodnyh vtorogo porjadka, 206 p. [in Russian]Спиваков Ю.Л. Специальные классы решений линейных дифференциальных уравнений и их приложения к анизотропной и неоднородной теории упругости. – Ташкент.: Фан, 1986. – 186 с.Spivakov Ju.L. (1986) Special'nye klassy reshenij linejnyh differencial'nyh uravnenij i ih prilozhenija k anizotropnoj i neodnorodnoj teorii uprugosti, 186 p. [in Russian]Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. – М.: Наука, 1966. – 260 с.Kamke Je. (1966) Spravochnik po differencial'nym uravnenijam v chastnyh proizvodnyh pervogo porjadka, 260 p. [in Russian]Курант Р. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1964. – 830 с.Kurant R. (1964) Uravnenija s chastnymi proizvodnymi, 830 p. [in Russian]Пуанкаре А. Избранные методы. Новые методы небесной механики. – М.: Наука, 1971. – 771 с.Puankare A. (1971) Izbrannye metody. Novye metody nebesnoj mehaniki, 771 p. [in Russian]Assanova A.T., Bekbauova A.U., Talipova M.Zh. On a non-local problem for system of partial differential equations of hyperbolic type in a specific domain // International Journal of Mathematics and Physics. – 2023.Assanova A.T., Bekbauova A.U., Talipova M.Zh. (2023) On a non-local problem for system of partial differential equations of hyperbolic type in a specific domain. International Journal of Mathematics and Physics.Assanova A.T. On a solvability to the problem with parameter for differential-algebraic equations // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2024.Assanova A.T. (2024) On a solvability to the problem with parameter for differential-algebraic equations. Lobachevskii Journal of Mathematics.Bekbauova A.U., Meirambekuly A. Construction of solutions in a broad sense of systems of first order partial differential equations with periodic conditions // Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 2025.Bekbauova A.U., Meirambekuly A. (2025) Construction of solutions in a broad sense of systems of first order partial differential equations with periodic conditions. Mathematical Methods in the Applied Sciences.Тасмамбетов Ж.Н., Терещенко Н.И. О логарифмических решениях системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Сборник трудов инст. мат. и мех. АН КазССР. – 1974. – С. 236–244.Tasmambetov Zh.N., Tereshhenko N.I. (1974) O logarifmicheskih reshenijah sistemy differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh vtorogo porjadka. Sbornik trudov inst. mat. i meh. AN KazSSR, pp. 236–244. [in Russian]Tasmambetov Zh. About logarithmic decisions of the special system of the differential equations in partial derivatives // Abstracts of the third congress of the World mathematical Society of Turkic countries. – Almaty, 2009. – P. 407–411.Tasmambetov Zh. (2009) About logarithmic decisions of the special system of the differential equations in partial derivatives. Abstracts of the third congress of the World mathematical Society of Turkic countries. Almaty, pp. 407–411.Тасмамбетов Ж.Н., Исенова А.А. Нормально-регулярные и логарифмические решения системы Уиттекера состоящей из трех уравнений // Традиционная международная апрельская математическая конференция в честь Дня работников науки РК. Тезисы докладов. – Алматы. – 2020. – C. 167–168.Tasmambetov Zh.N., Isenova A.A. (2020) Normal'no-reguljarnye i logarifmicheskie reshenija sistemy Uittekera sostojashhej iz treh uravnenij. Tradicionnaja mezhdunarodnaja aprel'skaja matematicheskaja konferencija v chest' Dnja rabotnikov nauki RK. Tezisy dokladov. Almaty, pp. 167–168.Исенова А.А. Нормально-регулярные и логарифмические решения системы Уиттекера состоящей из трех уравнений // IX международная научная конференция «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры». – Актобе. – 2022. – С. 281–288.Isenova A.A. (2022) Normal'no-reguljarnye i logarifmicheskie reshenija sistemy Uittekera sostojashhej iz treh uravnenij. IX mezhdunarodnaja nauchnaja konferencija «Problemy differencial'nyh uravnenij, analiza i algebry». Aktobe, pp. 281–288.Латышева К.Я., Терещенко Н.И. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений и их приложения. Метод Фробениуса-Латышевой. – Киев: Изд. Института математики АН УССР, 1970. – 394 с.Latysheva K.Ja., Tereshhenko N.I. (1970) Lekcii po analiticheskoj teorii differencial'nyh uravnenij i ih prilozhenija. Metod Frobeniusa-Latyshevoj. Kiev: Izd. Instituta matematiki AN USSR, 394 p. [in Russian]Тасмамбетов Ж.Н. Построение решения системы дифференциальных уравнений в частных производных с регулярной особенностью обобщенным методом Фробениуса (Препр. /АН УССР. Институт математики: 91.29) Киев, 1991. – 44 с.Tasmambetov Zh.N. (1991) Postroenie reshenija sistemy differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh s reguljarnoj osobennost'ju obobshhennym metodom Frobeniusa (Prepr. /AN USSR. Institut matematiki: 91.29) Kiev, 44 p. [in Russian]Латышева К.Я., Терещенко Н.И., Орел Г.С. Нормально-регулярные решения и их приложения. Киев: Вища школа, 1974. – 136 с.Latysheva K.Ja., Tereshhenko N.I., Orel G.S. (1974) Normal'no-reguljarnye reshenija i ih prilozhenija. Kiev: Vishha shkola, 136 p. [in Russian]Issenova A.A, Tasmambetov Z.N, Talipova M.Z. Construction of solutions hypergeometric system of Horn type in the form of Laguerre polynomials. // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2022. – Vol. 43. – No. 11. – P. 3167–3173.Issenova A.A, Tasmambetov Z.N, Talipova M.Z. (2022) Construction of solutions Hypergeometric system of Horn type in the form of Laguerre polynomials. Lobachevskii Journal of Mathematics, vol. 43, no. 11, pp. 3167–3173. [in Russian]Тасмамбетов Ж.Н., Нургалиева Д.М., Талипова М.Ж. О применении метода Фробениуса-Латышевой при решении задач математической физики // Материалы 6-й Казахстанской науч. конф. По физике твердого тела. г. Актобе, 4–6 октября 2000 г. – С. 174–177.Tasmambetov Zh.N., Nurgalieva D.M., Talipova M.Zh. O primenenii metoda Frobeniusa-Latyshevoj pri reshenii zadach matematicheskoj fiziki. Materialy 6-oj Kazahstanskoj nauch. konf. po fizike tverdogo tela. Aktobe, 4–6 oktjabrja 2000 g., pp. 174–177. [in Russian]Tasmambetov Z.N., Talipova M.Z. Construction of normal-regular decisions of Bessel typed special system // AIP Conference Proceedings. – 2017. – Vol. 1880. https://doi.org/10.1063/1.5000629.Tasmambetov Z.N., Talipova M.Z. (2017) Construction of normal-regular decisions of Bessel typed special system. AIP Conference Proceedings, vol. 1880. https://doi.org/10.1063/1.5000629.Тасмамбетов Ж.Н. Построение нормальных и нормально-регулярных решений специальных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. – Актобе: ИП Жандилдаева С.Т., 2015. – 464 с.Tasmambetov Zh.N. (2015) Postroenie normal'nyh i normal'no-reguljarnyh reshenij special'nyh system differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh vtorogo porjadka. IP Zhandildaeva S.T., Aktobe, 464 p. [in Russian]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.