kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-1-239-246kaz29-1749Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESЗАДАЧА ТИПА ДИРИХЛЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙDIRICHLET TYPE PROBLEM FOR THE SYSTEM OF NONLINEAR BELTRAMI EQUATIONS WITH SINGULAR POINThttps://orcid.org/0000-0002-4820-2264КушербаеваУ. Р.KusherbayevaU.

 к.ф.-м.н., ст. преподаватель 

 г. Алматы 

 Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer 

 Almaty 

ulbyke1970@gmail.comКазахский национальный университет им. аль-ФарабиКазахстанAl-Farabi Kazakh National UniversityKazakhstan202526032025221239246Copyright © Кушербаева У.Р., 20252025Кушербаева У.Р.Kusherbayeva U.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1749

В статье рассматривается система нелинейных уравнений Бельтрами первого порядка с сингулярной точкой в угловой неограниченной области комплексной плоскости. Эта система уравнений используется в теории поверхностей положительной бесконечно малой кривизны с точкой плотности и для построения изометрических узловых координат на поверхностях положительной кривизны с точкой плотности. В данной работе для этой системы уравнений получено достаточное условие решения задачи типа Дирихле в пространстве непрерывных функций. Для этого воспользуемся общим решением системы соответствующих линейных эллиптических дифференциальных уравнений с сингулярной точкой. Доказательство существования непрерывных решений задачи Дирихле основано на принципе неподвижной точки Шаудера.

In this paper we consider a system of first order nonlinear Beltrami equations with singular point in the angular unbounded region of the complex plane. This system of equations is used in the theory of surfaces of positive infinitesimal curvature with a density point and for the construction of isometric nodal coordinates on surfaces of positive curvature with a density point. In this paper, for this system of equations we obtain sufficient condition for the solution of the Dirichlet type problem in the space of continuous functions. For this purpose, we will use the general solution of the system of corresponding linear elliptic differential equations with singular point. The proof of existence of continuous solutions of the Dirichlet problem is based on the Schauder fixed point principle.

задача Дирихлеуравнение Бельтрамиэллиптическая системанелинейное уравнениенеограниченная областьDirichlet problemBeltrami equationelliptic systemnonlinear equationunbounded domainReferencesРадон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала // УМН. –1946. – Т. 1. – № 3–4(13–4). – С. 96–124.Radon I. (1946) On boundary value problems for a logarithmic potential. UMN, vol. 1, no. 3–4(13–4), pp. 96–124. [in Russian]Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. – М.: Наука, 1975. – 296 с.Danilyuk I.I. (1975) Irregular boundary value problems in the plane, M.: Nauka, 296 p. [in Russian]Магнарадзе Л. Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками / Докл. АН СССР. – 1937. – Т. 16, № 3. – С. 157–161.Magnaradze L.G. (1937) Basic problems of the plane theory of elasticity for contours with angular points. Dokl. AS USSR, vol. 16, no. 3, pp. 157–161. [in Russian]Лопатинский Я.Б. Теория общих граничных задач. – К.: Наукова думка, 1984. – 316 с.Lopatinsky Ya.B. (1984) Theory of general boundary value problems, 316 p. [in Russian]Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1988. –512 с. https://urss.ru/cgibin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=275914.Vekua I.N. (1988) Generalised analytic functions. Moscow: Nauka, 512 p. https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=275914 [in Russian]Векуа И.Н. Системы дифференциальых уравнений эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек // Матем. сб. – 1952. – Т. 31(73). – № 2. – С. 234–314. https://www.mathnet.ru/rus/sm5531Vekua I.N. (1952) Systems of differential equations of elliptic type and boundary value problems with application to the theory of shells. Matem. sb., vol. 31(73), no.2, pp.234–314. https://www.mathnet.ru/rus/sm5531 [in Russian]Оспанов К.Н., Отелбаев М. Об обобщенной системе Коши–Римана с негладкими коэффициентами // Изв. вузов. матем. – 1989. – № 3. – С. 48–56; Soviet Math. (Iz. VUZ), 1989, vol. 33, no. 3, pp. 75–89.Ospanov К.Н., Otelbayev М. (1989) On the generalized Cauchy-Riemann system with nonsmooth coefficients, Izv. vyuzov. Math., no. 3, pp. 48–56; Soviet Math. (Iz. VUZ), 1989, vol. 33, no. 3, pp. 75–89. [in Russian]Усманов З.Д. О бесконечно малых изгибаниях поверхностей положительной кривизны с изолированной точкой уплощения // Матем. сб. – 1970. – Т. 83(125):4(12). – С. 596–615. https://www.mathnet.ru/sm3531.Usmanov Z.D. (1970) About infinitesimal bending of surfaces of positive curvature with an isolated point of flattening. Matem.sb., vol. 83(125):4(12), pp. 596–615. https://www.mathnet.ru/sm 3531 [in Russian]Усманов З.Д. Об одном классе обобщенных систем Коши-Римана с сингулярной точкой // Сиб. матем. журнал. – 1973. – Т.14. – № 5. – С. 1076–1087.Usmanov Z.D. (1973) About one class of generalised Cauchy-Riemann systems with a singular point. Sib. matem. journal., vol. 14, no. 5, p. 1076–1087. [in Russian]Усманов З.Д. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения. https://bibliotekanauki.pl/articles/719678.pdfUsmanov Z.D. Infinitesimal bending of surfaces of positive curvature with a flattening point https://bibliotekanauki.pl/articles/719678.pdf. [in Russian]Абдыманапов С.А., Тунгатаров А. Некоторые классы эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами. – Алматы: «Ғылым», 2005. – 169 c.Abdymanapov S.A., Tungatarov A. (2005) Some classes of elliptic systems in the plane with singular coefficients. Almaty: ‘Ғylym’, 169 p. [in Russian]Тунгатаров А. О непрерывных решениях уравнения Карлемана – Векуа с сингулярной точкой // ДАН СССР. – 1991. – Т. 319. – № 3. – С. 570–573.Tungatarov A. (1991) On continuous solutions of the Karleman-Vekua equation with singular point. DAN USSR, vol. 319, no. 3, pp. 570–573. [in Russian]Тунгатаров А. Об одном классе нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Материалы международной научно–практической конференции «Теория функций, функциональный анализ и их приложения», посвященной 90-летию со дня рождения член-корр. АН КазССР, доктора физ.-мат. наук, профессора Т.И. Аманова. – Т. 1. – Семей, 2013. – С. 132–136.Tungatarov A. (2013) About one class of nonlinear systems of ordinary differential equations of the first order. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference ‘Theory of Functions, Functional Analysis and their Applications’ devoted to the 90th anniversary of the birth of member - corr. Of the Academy of Sciences of the Kazakh SSR, Doctor of Physical Sciences, Professor T.I. Amanov, 1-volume, Semey, pp. 132–136. [in Russian]Akhmed-Zaki D.K., Danaev N.T., Tungatarov A. Elliptic systems in the plane with singular coefficients along lines // TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics. – 2012. –Vol. 3. – No. 1. – P. 3–10. https://www.naturalspublishing.com/download.asp?ArtcID=17372Akhmed-Zaki D.K., Danaev N.T., Tungatarov A. (2012) Elliptic systems in the plane with singular coefficients along lines. TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics. Azerbaijan, vol. 3, no. 1, pp. 3–10. https://www.naturalspublishing.com/download.asp?ArtcID=17372Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I // Совр. мат. фундам. напр. – 2017. – Т. 63. – № 1. – С. 1–189.Soldatov A.P. (2017) Singular integral operators and elliptic boundary value problems. I. Sovremennr. mat. Fundam. napravlenie, vol. 63, no. 1, pp. 1–189. [in Russian]Tungatarov А. Задача типа Дирихле для одного класса нелинейных уравнений Карлемана – Векуа с сингулярной точкой // Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика. – 2014. – Т. 80. – № 1. – С. 102–107.Tungatarov A. (2014) Dirichlet type problem for one class of nonlinear Karleman-Vekua equations with singular point. Vestnik KazNU. Series of Mathematics, Mechanics, Informatics, vol. 80, no. 1, pp. 102–107. [in Russian]Kusherbaeva U. and Altynbek S. On the initial boundary value problem for the Beltrami equation with polar singularity in an unbounded region // Bulletin of Abai KazNPU. Series of Physical and mathematical sciences. – 2024. – Vol. 86. – No. 2. – P. 65–73. https://doi.org/10.51889/2959-5894.2024.86.2.006Kusherbaeva U. and Altynbek S. (2024) On initial boundary value problem for Beltrami equation with polar singularity in unbounded region. Bulletin of Abay KazNPU. Series of physical and mathematical sciences, vol. 86, no. 2 (June 2024), pp. 65–73. https://doi.org/10.51889/2959-5894.2024.86.2.006Gençtürk İlker. Neumann boundary value problem for the Beltrami equation in a ring domain // Turkish Journal of Mathematics. – 2023. – Vol. 47. – No. 5. – Article 20. https://doi.org/10.55730/1300-0098.3449Gençürk Ilker. (2023) Neumann boundary value problem for the Beltrami equation in the ring domain, Turkish Journal of Mathematics, vol. 47, no. 5, Article 20. https://doi.org/10.55730/1300-0098.3449Karaca B. Dirichlet problem for complex model partial differential equations // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2020. – Vol. 65. – No. 10. – P. 1748–1762. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1684478Karaca B. (2020) The Dirichlet problem for complex model differential equations, Complex Variables and Elliptic Equations, vol. 65, no. 10, pp. 1748–1762. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1684478Kusherbayeva U., Abduakhitova G. On Continuous Solutions of the Homogeneous Beltrami Equation with a Polar Singularity // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2023. – Vol. 69. – No. 5. – P. 842–848. https://doi.org/10.1080/17476933.2023.2164886Kusherbaeva U., Abduakhitova G. (202) On continuous solutions of the homogeneous Beltrami equation with polar singularity, Complex Variables and Elliptic Equations, 3, vol. 69, no. 5, pp. 842–848, https://doi.org/10.1080/17476933.2023.2164886Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 519 с.Lusternik L.A., Sobolev V.I. (1965) Elements of functional analysis. Moscow: Nauka, 519 p. [in Russian]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.