kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-1-229-238kaz29-1748Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESРЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ СЛЕД ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА ГРАФ-ЗВЕЗДЕTHE REGULARIZED TRACE OF THE STURM-LIOUVILLE OPERATOR ON A STAR-GRAPHhttps://orcid.org/0009-0006-9593-793XСатпаеваЗ. З.SatpayevaZ. Z.

 докторант 

 г. Усть-Каменогорск 

 PhD student 

 Ust-Kamenogorsk 

satpaeva.zuxra@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-5504-6362КангужинБ. Е.KanguzhinB. E.

 доктор физ.-матем. наук, профессор 

 г. Алматы 

 

 Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor 

 Almaty 

kanbalta@mail.ruВосточно-Казахстанский университет им. С. АманжоловаКазахстанS. Amanzholov East Kazakhstan UniversityKazakhstanКазахский национальный университет им. аль-ФарабиКазахстанKazakh National University named after Al-FarabiKazakhstan202525032025221229238Copyright © Сатпаева З.З., Кангужин Б.Е., 20252025Сатпаева З.З., Кангужин Б.Е.Satpayeva Z.Z., Kanguzhin B.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1748

В работе исследуются дифференциальный оператор второго порядка на граф-звезде. Выбран специальный класс дифференциальных операторов на граф-звезде с простыми собственными значениями. Изучена структура характеристических определителей таких операторов. В случае оператора Штурма-Лиувилля с постоянными коэффициентами выписана формула первого регуляризованного следа. Основной целью работы является вычисление регуляризованного следа оператора на граф-звезде, что отличается от вычислений для аналогичных операторов на отрезках, рассмотренных в других работах. В статье также подробно раскрываются свойства собственных значений оператора, включая теорему о том, что собственные значения оператора совпадают с нулями целой функции и алгебраическая кратность каждого собственного значения равна кратности нуля функции. Для наглядности результаты работы представлены через характеристический определитель оператора и числовые ряды, которые описывают поведение регуляризованного следа. При использовании методов теории функций и аналитических рядов вычисляется первый регуляризованный след, что является важным шагом в изучении спектральных характеристик оператора на графах. Статья представляет интерес для специалистов в области теории спектральных операторов и дифференциальных уравнений на графах, а также для исследователей, занимающихся вычислением следов операторов и анализом их асимптотических свойств.

The paper investigates a second-order differential operator on a star graph. A special class of differential operators on a star graph with simple eigenvalues is chosen. The structure of the characteristic determinants of such operators is studied. In the case of the Sturm-Liouville operator with constant coefficients, the formula of the first regularized trace is written out. The main purpose of this work is to calculate the regularized trace of an operator on a star graph, which differs from calculations for similar operators on segments considered in other papers. The article also describes in detail the properties of the eigenvalues of an operator, including the theorem that the eigenvalues of an operator coincide with the zeros of an entire function, and the algebraic multiplicity of each eigenvalue is equal to the multiplicity of zero of the function. For clarity, the results of the work are presented through the characteristic determinant of the operator and numerical series that describe the behavior of the regularized trace. Using the methods of function theory and analytical series, the first regularized trace is calculated, which is an important step in studying the spectral characteristics of an operator on graphs. The article is of interest to specialists in the theory of spectral operators and differential equations on graphs, as well as to researchers involved in calculating operator traces and analyzing their asymptotic properties.

регуляризованный следдифференциальный оператороператор Штурма-Лиувилляхарактеристический определительregularized tracedifferential operatorSturm-Liouville operatorcharacteristic determinantРабота выполнена при поддержке грантового финансирования проектов Министерством науки и высшего образования Республики Казахстан (грант №AP19678089).ReferencesKanguzhin B.E., Kaiyrbek Zh.A., Mustafina M.O. Recovering of the Stiffness Coefficients of the Sturm-Liouville Operator on a Star Graph from a Finite Set of its Eigenvalues // Lobachevckii Journal of Mathematics. – 2021. – Vol. 15. – No. 6. – P. 2725–2730.Kanguzhin B.E., Kaiyrbek Zh.A., Mustafina M.O. (2021) Recovering of the Stiffness Coefficients of the Sturm-Liouville Operator on a Star Graph from a Finite Set of its Eigenvalues. Lobachevckii Journal of Mathematics, vol. 15, no. 6, pp. 2725–2730.Bondarenko N.P. Inverse problem for a differential operator on a star-shaped graph with nonlocal matching condition. – Bol. Soc. Mat. Mex. – 2023. – Vol. 29. – No. 2. https://doi.org/10.1007/s40590-022-00476-xBondarenko N.P. (2023) Inverse problem for a differential operator on a star-shaped graph with nonlocal matching condition. Bol. Soc. Mat. Mex., vol. 29, no. 2. https://doi.org/10.1007/s40590-022-00476-x.Савчук А.М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с -потенциалом // Успехи мат. наук. – 2000. – Т. 55. – № 6. – С. 155–156.Savchuk A.M. (2000) Reguljarizovannyj sled pervogo porjadka operatora Shturma-Liuvillja s δ-potencialom. Uspehi mat. nauk, vol. 55, no. 6, pp. 155–156. [in Russian]Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. // Докл. АН СССР. – 1953. – Т. 88. – № 4. – С. 593–596.Gel'fand I.M., Levitan B.M. (1953) Ob odnom prostom tozhdestve dlja sobstvennyh znachenij differencial'nogo operatora vtorogo porjadka. Dokl. AN SSSR, vol. 88, no. 4, pp. 593–596. [in Russian]Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // Успехи мат. наук. – 2006. – Т. 61. – № 5. – С. 89–156.Sadovnichij V.A., Podol'skij V.E. (2006) Sledy operatorov. Uspehi mat. Nauk, vol. 61, no. 5, pp. 89–156. [in Russian]Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – Физматлит, 2010.Najmark M.A. (2010) Linejnye differencial'nye operatory. [in Russian]Nazarov A.I., Stolyarov D.M., Zatitskiy P.B. The Tamarkin equiconvergence theorem and a first-order trace formula for regular differential operators revisited // J. Spectr. Theory. – 2014. – Vol. 4. – No. 2. – P. 365–389.Nazarov A.I., Stolyarov D.M., Zatitskiy P.B. (2014) The Tamarkin equiconvergence theorem and a first-order trace formula for regular differential operators revisited. J. Spectr. Theory, vol. 4, no.2, pp. 365–389.Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Мат. заметки. – 2001. – Т. 69. – № 3. – C. 427–442.Savchuk A.M., Shkalikov A.A. (2001) Formula sleda dlja operatorov Shturma-Liuvillja s singuljarnymi potencialami. Mat. Zametki, vol. 69, no. 3, pp. 427–442. [in Russian]Гальковский Е.Д., Назаров А.И. Общая формула следов для дифференциального оператора на отрезке при возмущении младшего коэффициента конечным зарядом // Алгебра и анализ. – 2018. – Т. 30. – № 3. – С. 30–54.Gal'kovskij E.D., Nazarov A.I. (2018) Obshhaja formula sledov dlja differencial'nogo operatora na otrezke pri vozmushhenii mladshego kojefficienta konechnym zarjadom. Algebra i analiz, vol. 30, no. 3, pp. 30–54. [in Russian]Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. – М., 1967Bellman R., Kuk K.L. (1967) Differencial'no- raznostnye uravnenija. [in Russian]Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б., Анияров А.А., Сатпаева З. Регуляризованный след оператора двукратного дифференцирования на граф-звезде// Differential Equations. – 2025.Kanguzhin B.E., Nurahmetov D.B., Anijarov A.A., Satpaeva Z. (2025) Reguljarizovannyj sled operatora dvukratnogo differencirovanija na graf-zvezde. Differential Equations. [in Russian]Kirsten, K. Spectral Functions in Mathematics and Physics. – CRC Press., 2001.Kirsten K. (2001) Spectral Functions in Mathematics and Physics. CRC Press.Erdal G., Aylan C. A Second Regularized Trace Formula for a Fourth Order Differential Operator // Symmetry. – 2021. – No. 4. – P. 629.Erdal G., Aylan C. (2021) A Second Regularized Trace Formula for a Fourth Order Differential Operator. Symmetry, no. 4, p. 629.Иманбаев Н.С., Садыбеков М.А. Первый регуляризованный след дифференциального оператора типа Штурма–Лиувилля на отрезке с проколотыми точками // Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика. – 2014. – № 2. – С. 66–71.Imanbaev N.S., Sadybekov M.A. (2014) Pervyj reguljarizovannyj sled differencial'nogo operatora tipa Shturma–Liuvillja na otrezke s prokolotymi tochkami. Vestnik KazNU. Serija matematika, mehanika, informatika, no. 2, pp. 66–71. [in Russian]Bondarenko N.P. Linear Differential Operators with Distribution Coefficients of Various Singularity Orders // arXiv preprint. – 2022.Bondarenko N.P. (2022) Linear Differential Operators with Distribution Coefficients of Various Singularity Orders. arXiv preprint.Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями // Труды Московского математического общества. – 2003. – № 64. – С. 159–212.Savchuk A.M., Shkalikov A.A. (2003) Operatory Shturma–Liuvillja s potencialami-raspredelenijami. Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshhestva, no. 64, pp. 159–212. [in Russian]Кангужин Б.Е., Токмагамбетов Н.Е. О формуле регуляризованного следа корректно возмущенного оператора Лапласа // Доклады Академии наук. –2013.Kanguzhin B.E., Tokmagambetov N.E. (2013) O formule reguljarizovannogo sleda korrektno vozmushhennogo operatora Laplasa. Doklady Akademii nauk. [in Russian]Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора // Математический сборник. – 2001. – № 2. – С. 109–138.Fazullin Z.Ju., Murtazin H.H. (2001) Reguljarizovannyj sled dvumernogo garmonicheskogo oscilljatora. Matematicheskij sbornik, no. 2, pp. 109–138. [in Russian]Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S² // Математические заметки. – 2005. – № 3. – С. 434–448.Sadovnichij V.A., Fazullin Z.Ju. (2005) Asimptotika sobstvennyh chisel i formula sleda vozmushhenija operatora Laplasa na sfere S². Matematicheskie zametki, no. 3, pp. 434–448. [in Russian]Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Формула регуляризованного следа для возмущений из класса Шатена–фон Неймана дискретных операторов. – Башкирский университет, 2015.Fazullin Z.Ju., Murtazin H.H. (2015) Formula reguljarizovannogo sleda dlja vozmushhenij iz klassa Shatena–fon Nejmana diskretnyh operatorov. Bashkirskij universitet. [in Russian]Bondarenko N.P. Regularization and inverse spectral problems for differential operators with distribution coefficients // arXiv preprint, 2023.Bondarenko N.P. (2023) Regularization and inverse spectral problems for differential operators with distribution coefficients. arXiv preprint.Law C.K., Pivovarchik V. Characteristic functions of quantum graphs // Journal of Physics A: mathematical and theoretical, 2009.Law C.K., Pivovarchik V. (2009) Characteristic functions of quantum graphs. Journal of Physics A: mathematical and theoretical.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.