kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-1-173-183kaz29-1743Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESРАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА САМАРСКОГО–ИОНКИНА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНВОЛЮЦИЕЙSOLVABILITY OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM OF THE SAMARSKY-IONKIN TYPE FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH INVOLUTIONhttps://orcid.org/0000-0002-4311-5807УсмановК. И.UsmanovK. I.

 к.ф.-м. н., доцент 

 г. Туркестан 

 Cand. Phys.-Math.Sc., Associate Professor 

 Turkistan 

kairat.usmanov@ayu.edu.kzhttps://orcid.org/0000-0002-2093-1879НазароваК. Ж.NazarovaK. Zh.

 к.ф.-м. н., доцент 

 г. Туркестан 

 Cand. Phys.-Math.Sc., Associate Professor 

 Turkistan 

kulzina.nazarova@ayu.edu.kzhttps://orcid.org/0000-0001-9680-2347ТурганбаеваЖ. Н.ТurganbaevaZh.

 PhD 

 г. Туркестан 

 PhD 

 Turkistan 

zhannur.turganbaeva@ayu.edu.kzМеждународный казахско-турецкий университет им. А. ЯсавиКазахстанAkhmet Yassawi International Kazakh-Turkish UniversityKazakhstan202525032025221173183Copyright © Усманов К.И., Назарова К.Ж., Турганбаева Ж.Н., 20252025Усманов К.И., Назарова К.Ж., Турганбаева Ж.Н.Usmanov K.I., Nazarova K.Z., Тurganbaeva Z.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1743

В данной работе исследуется нелокальная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с инволютивным преобразованием. Цель работы – применить метод параметризации, разработанный профессором Д. Джумабаевым, для изучения разрешимости нелокальных краевых задач в контексте дифференциальных уравнений с инволютивными преобразованиями. Известно, что задача Коши для таких уравнений может не обладать единственностью решения. Поэтому вводятся параметры μ1=  y(½), μ2=  y′(½) и производится замена переменных y(x)=u(x)+μ1+μ2(x-1/2). Значения параметров определяются в средней точке интервала, что позволяет гарантировать существование единственного решения для задачи Коши исходного уравнения. Проведенная замена переменных формально делит задачу на две составляющие: задача Коши для исходного уравнения и система линейных уравнений по введенным параметрам. Решив задачу Коши и подставив ее решение в краевые условия, можно получить систему линейных уравнений относительно параметров. Если матрица этой системы обратима, то задача имеет единственное решение. В случае, когда матрица необратима, возможны два варианта: либо краевая задача неразрешима, либо у нее существует множество решений. Для второго случая в работе определены собственные значения и условия разрешимости краевой задачи.

In this paper, we investigate a non-local boundary value problem for a second-order differential equation with an involutive transformation. The aim of this work is to apply the parametrization method developed by Professor D. Dzhumabayev to study the solvability of non-local boundary value problems in the context of differential equations with involutive transformations. It is known that the Cauchy problem for such equations may not have a unique solution. Therefore, parameters μ1= y(½), μ2= y′(½) are introduced, and variables y(x)=u(x)+μ1+μ2(x-1/2) are replaced. The parameter values are determined at the midpoint of the interval, which guarantees the existence of a unique solution for the Cauchy problem of the original equation. The performed variable substitution formally divides the problem into two components: the Cauchy problem for the initial equation and a system of linear equations with respect to the introduced parameters. By solving the Cauchy problem and substituting its solution into the boundary conditions, one can obtain a system of linear equations with respect to the parameters. If the matrix of this system is invertible, then the problem has a unique solution. In the case when the matrix is non-invertible, two scenarios are possible: either the boundary value problem is unsolvable, or it has multiple solutions. For the second case, the paper defines the eigenvalues and solvability conditions of the boundary value problem.

метод Джумабаевапараметрзадача Кошисистема линейных уравненийоднозначная разрешимостьсобственные значенияDzhumabayev's methodparameterCauchy problemsystem of linear equationsunique solvabilityeigenvaluesДанное исследование выполнено при финансовой поддержке Комитета науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (грант № AP23488086).ReferencesКожанов А.И., Бжеумихова О.И. Собственные функции и собственные числа дифференциальных уравнений с инволюцией // Сибирский математический журнал. – 2024. – Т. 65. – № 5. – С. 953–964.Kozhanov A.I., Bzheumihova O.I. (2024) Sobstvennye funkcii i sobstvennye chisla differencial'nyh uravnenij s involjuciej. Sibirskij matematicheskij zhurnal, vol. 65, no. 5, pp. 953–964. [in Russian]Карачик В.В. Бигармоническая задача Неймана с двойной инволюцией // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия Математика. Механика. Физика. – 2024. – Т. 16. – № 3. – С. 18–26.Karachik V.V. (2024) Bigarmonicheskaja zadacha Nejmana s dvojnoj involjuciej. Vestnik JuzhnoUral'skogo gosudarstvennogo universiteta. Serija Matematika. Mehanika. Fizika, vol. 16, no. 3, pp. 18–26. [in Russian]Дехконов Ф.Н. On the boundary control problem for a pseudo-parabolic equation with involution // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. – 2024. – Т. 20. – № 3. – С. 416–427.Dehkonov F.N. (2024) On the boundary control problem for a pseudo-parabolic equation with involution. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Prikladnaja matematika. Informatika. Processy upravlenija, vol. 20, no. 3, pp. 416–427.Кадиркулов Б.Ж., Каюмова Г.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа дробного порядка с инволюцией // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. – 2022. – Т. 210. – С. 55–65.Kadirkulov B.Zh., Kajumova G.A. (2022) Nelokal'naja zadacha dlja uravnenija smeshannogo tipa drobnogo porjadka s involjuciej. Itogi nauki i tehniki. Sovremennaja matematika i ee prilozhenija. Tematicheskie obzory, vol. 210, pp. 55–65. [in Russian]Турметов Б.Х., Карачик В.В. О разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона с множественной инволюцией // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2021. – Т. 31. – № 4. – С. 651–667.5 Turmetov B.H., Karachik V.V. (2021) O razreshimosti kraevyh zadach Dirihle i Nejmana dlja uravnenija Puassona s mnozhestvennoj involjuciej. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mehanika. Komp'juternye nauki, vol. 31, no. 4, pp. 651–667. [in Russian]Cabada A.; Tojo F.A.F. Differential Equations with Involutions, 1st ed.; Atlantis Press: Paris, France, 2015. ISBN 978-94-6239-120-8.Cabada A., Tojo F.A.F. (2015) Differential Equations with Involutions, 1st ed., Atlantis Press: Paris, France. ISBN 978-94-6239-120-8.Sarsenbi A.A., Mussirepova E. Green’s function of a boundary value problem for a second-order differential equation with involution // Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. – 2022. – Т. 11. – № 12. – С. 21.Sarsenbi A.A., Mussirepova E. (2022) Green’s function of a boundary value problem for a secondorder differential equation with involution. Vestnik Nacional'noj inzhenernoj akademii Respubliki Kazahstan, vol. 11, no. 12, p. 21.Dildabek G., Ivanova M.B., Sadybekov M.A. On root functions of nonlocal differential second-order operator with boundary conditions of periodic type // Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science. – 2021. – Т. 112. – № 4.Dildabek G., Ivanova M.B., Sadybekov M.A. (2012) On root functions of nonlocal differential secondorder operator with boundary conditions of periodic type. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, vol.112, no. 4.Dzhumabayev D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation. // Comput Maths Math Phys. –1989. – V. 29. – No. 34. – P. 34–46.Dzhumabayev D.S. (1989) Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation. Comput Maths Math Phys., vol. 29, no. 34, pp. 34–46.Асанова А.Т. и др. О краевой задаче для гиперболического уравнения высокого порядка с импульсной дискретной памятью // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2024. – Т. 21. – № 3. – С. 191–200.Asanova A.T. i dr. (2024) O kraevoj zadache dlja giperbolicheskogo uravnenija vysokogo porjadka s impul'snoj diskretnoj pamjat'ju. Vestnik Kazahstansko-Britanskogo tehnicheskogo universiteta, vol. 21, no. 3, pp. 191–200. [in Russian]Усманов Қ.И., Жаппар А.С. Импульсты шеттік шартты параметрлі интегралдық-дифференциалдық теңдеулер жүйесінің дербес бір жағдайының бірмәнді шешімділігі // Вестник КазНПУ имени Абая. Серия Физико-математические науки. – 2020. – Т. 72. – № 4. – С. 78–84.Usmanov Q.İ., Jappar A.S. (2020) İmpülsty şettık şartty parametrlı integraldyq-diferensialdyq teñdeuler jüiesınıñ derbes bır jağdaiynyñ bırmändı şeşımdılıgı. Vestnik KazNPU imeni Abaja. Serija Fizikomatematicheskie nauki, vol. 72, no. 4, pp. 78–84. [in Kazakh]Искакова Н.Б. и др. Численный метод решения краевой задачи для параболического уравнения // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2024. – Т. 21. – № 3. – С. 165–175.Iskakova N.B. i dr. (2024) Chislennyj metod reshenija kraevoj zadachi dlja parabolicheskogo uravnenija. Vestnik Kazahstansko-Britanskogo tehnicheskogo universiteta, vol. 21, no. 3, pp. 165–175. [in Russian]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.