kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2024-21-4-146-152kaz29-1547Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESОБ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА С БОЛЕЕ ОБЩИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИON A SPECTRAL PROBLEM FOR THE LAPLACE OPERATOR WITH MORE GENERAL BOUNDARY CONDITIONShttps://orcid.org/0000-0003-0437-6091ДукенбаеваА.DukenbayevaA.

PhD

г. Алматы

 

PhD

Almaty

 

dukenbayeva@math.kzhttps://orcid.org/0000-0001-8450-8191СадыбековМ.SadybekovM.

д.ф.-м.н., профессор

г. Алматы

Dr.Phys.-Math.Sc., Professor

Almaty

sadybekov@math.kzИнститут математики и математического моделированияКазахстанInstitute of Mathematics and Mathematical ModelingKazakhstan202424122024214146152Copyright © Дукенбаева А., Садыбеков М., 20242024Дукенбаева А., Садыбеков М.Dukenbayeva A., Sadybekov M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1547

В данной работе мы рассматриваем спектральную задачу для оператора Лапласа с более общими краевыми условиями в единичном круге B1. В частных случаях краевые условия включают периодические и краевые условия типа Самарского-Ионкина. Основное важное свойство нашей задачи – это ее несамосопряженность, что вызывает ряд трудностей при аналитических и численных решениях. Например, метод Фурье для разделения переменных не может быть применен напрямую к нашей задаче. Поэтому в данной работе обосновывается возможность применения метода разделения переменных. А именно мы представляем метод, который сводит решение задачи к последовательному решению двух классических локальных краевых задач. С использованием этого метода мы строим все собственные функции и собственные значения задачи в явном виде. Более того, доказывается полнота системы собственных функций в L2 (B1). Примечательно, что наш результат обобщает частный случай решения двумерной задачи с периодическими краевыми условиями для оператора Лапласа, полученного в [1, 2].

In this paper, we consider a spectral problem for the Laplace operator with more general boundary conditions in a unit disk B1. In the special cases, the boundary conditions inlude periodic and Samarskii-Ionkin type boundary conditions. The main important property of our problem is its non-self-adjointness, which causes number of difficulties in their analytical and numerical solutions. For example, the Fourier method of separation of variables cannot be applied directly to our problem. Therefore, the possibility of separation of variables is justified in this paper. Namely, we present a method that reduces solution of the problem to a sequential solution of two classical local boundary value problems. By using this method, we construct all eigenfunctions and eigenvalues of the problem in explicit forms. Moreover, completeness of the system of the eigenfunctions is proved in L2 (B1). Notably, our result generalises the special case of the result on the two-dimensional periodic boundary value problem for the Laplace operator obtained in [1–2].

уравнение Пуассоназадача типа Самарского–Ионкинасобственные функциисобственные значенияLaplace operatorSamarskii-Ionkin type problemeigenfunctionseigenvaluesThis research is funded by the Committee of Science of the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of Kazakhstan (Grant № AP23490970).ReferencesSadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On an analog of periodic boundary value problems for the Poisson equation in the disk. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 2, pp. 268–273.Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On an analog of periodic boundary value problems for the Poisson equation in the disk. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 2, pp. 268–273.Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On analogues of periodic boundary value problems for the Laplace operator in a ball. Eurasian Mathematical Journal, 2012, vol. 3, no. 1, pp. 143–146.Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On analogues of periodic boundary value problems for the Laplace operator in a ball. Eurasian Mathematical Journal, 2012, vol. 3, no. 1, pp. 143–146.Yessirkegenov N. Spectral properties of the generalised Samarskii–Ionkin type problems. Filomat, 2018, vol. 32, no. 3, pp. 1019–1024.Yessirkegenov N. Spectral properties of the generalised Samarskii–Ionkin type problems. Filomat, 2018, vol. 32, no. 3, pp. 1019–1024.Sadybekov M.A., Torebek B.T., Yessirkegenov N.A. On an analog of Samarskii-Ionkin type boundary value problem for the Poisson equation in the disk. AIP Conference Proceedings, 2015, 1676, Article ID 020035.Sadybekov M.A., Torebek B.T., Yessirkegenov N.A. On an analog of Samarskii-Ionkin type boundary value problem for the Poisson equation in the disk. AIP Conference Proceedings, 2015, 1676, Article ID 020035.Dukenbayeva A., Sadybekov M., Yessirkegenov N. On a generalised Samarskii-Ionkin type problem for the Poisson equation. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 2018, vol. 264, Springer, Cham., pp. 207–216.Dukenbayeva A., Sadybekov M., Yessirkegenov N. On a generalised Samarskii-Ionkin type problem for the Poisson equation. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 2018, vol. 264, Springer, Cham., pp. 207–216.Dukenbayeva A., Sadybekov M. On boundary value problems of the Samarskii–Ionkin type for the Laplace operator in a ball. Complex Var. Elliptic Equ., 2022, no. 67, pp. 369–383.Dukenbayeva A., Sadybekov M. On boundary value problems of the Samarskii–Ionkin type for the Laplace operator in a ball. Complex Var. Elliptic Equ., 2022, no. 67, pp. 369–383.Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., Torebek B.T. Solvability of nonlocal boundary-value problems for the Laplace equation in the ball. EJDE, 2014, pp. 1–14.Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., Torebek B.T. Solvability of nonlocal boundary-value problems for the Laplace equation in the ball. EJDE, 2014, pp. 1–14.Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., Torebek,B.T. On an explicit form of the Green function of the third boundary value problem for the Poisson equation in a circle. AIP Conference Proceedings, 1611, 2014. http//doi:10.1063/1.4893843.Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., Torebek,B.T. On an explicit form of the Green function of the third boundary value problem for the Poisson equation in a circle. AIP Conference Proceedings, 1611, 2014. http//doi:10.1063/1.4893843.Ionkin N.I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. Differ. Uravn., 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294–304.Ionkin N.I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. Differ. Uravn., 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294–304.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.