kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2024-21-3-201-209kaz29-1382Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESУПОРЯДОЧЕННАЯ СТАБИЛЬНОСТЬ И ОБОГАЩЕНИЯ ЧИСТОГО ЛИНЕЙНОГО ПОРЯДКА ОДНОМЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙORDERED STABILITY AND EXPANSIONS OF A PURE LINEAR ORDER BY A UNARY FUNCTIONhttps://orcid.org/0000-0001-5177-8523ВербовскийВ.VerbovskyV.

д.физ.-мат.н., доцент 

Алматы, 050010, ул. Шевченко, 28

Dr.Phys.-Math.Sc., Associate Professor 

Almaty, 050010, Shevchenko st., 28

verbovskiy@math.kzhttps://orcid.org/0000-0001-6732-1077ЕршигешоваА.ErshigeshovaA.

магистр, старший преподаватель 

Алматы, 050010, ул. Шевченко, 28

Master, Senior Lecturer 

Almaty, 050010, Shevchenko st., 28

aisha.yershigeshova@gmail.comИнститут математики и математического моделирования КН МНВО РККазахстанInstitute of Mathematics and Mathematical Modeling of the Science Comittee of the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of KazakhstanKazakhstan202402102024213201209Copyright © Вербовский В., Ершигешова А., 20242024Вербовский В., Ершигешова А.Verbovsky V., Ershigeshova A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1382

Линейно упорядоченная структура называется упорядоченно стабильной, если каждое ее дедекиндово сечение имеет «малое» число расширений до полных 1-типов. Данное понятие, которое ввели Б.С. Байжанов и В.В. Вербовский, обобщает такие широко известные в среде специалистов по теории моделей понятия, как слабая о-минимальность, (слабая) квази-о-минимальность и дп-минимальность упорядоченных структур. Оно основано на соединении понятия стабильности и о-минимальности. Как мы знаем, элементарная теория любого чистого линейного порядка упорядоченно суперстабильна. Действительно, это следует из того факта, которые доказал еще Рубин в конце 70-х годов XX века, что любой тип от одной переменной определяется своим сечением и формульными подмножествами, выделяемыми одноместными предикатами или формулами от одной свободной переменной. В данной работе мы исследуем вопрос, что будет, если чистый линейный порядок обогатить одноместной функцией. Построены два примера, когда упорядоченная стабильность нарушается. Кроме того, найдены достаточные условия сохранения упорядоченной стабильности при таком обогащении языка. Исследовательская работа по данной теме еще не окончена. В идеале было бы хорошо найти критерий сохранения упорядоченной стабильности при обогащении структуры с чистым линейным порядком новой функцией от одной переменной.

A linearly ordered structure is said to be o-stable if each of its Dedekind cut has a “small” number of extensions to complete 1-types. This concept, which was introduced by B.S. Baizhanov and V.V. Verbovsky, generalizes such widely known concepts among specialists in model theory as weak o-minimality, (weak) quasi-o-minimality and dp-minimality of ordered structures. It is based on a combination of the concepts of o-minimality and stability. As we know, the elementary theory of any pure linear order is o-superstable. Indeed, this follows from the fact, which Rubin proved in the late 70s of the 20th century, that any type of one variable is determined by its cut and definable subsets, distinguished by unary predicates or formulas with one free variable. In this paper, we explore the question of what happens if a pure linear order is expanded with a unary function. Two examples were constructed when o-stability is violated; in addition, sufficient conditions for preserving o-stability with such language expansion were found. Research work on this topic is not yet finished, ideally, it would be good to find a criterion for preserving ordered stability when enriching a structure with pure linear order with a new function of one variable.

линейно упорядоченное множествосвойство независимостиунарупорядоченная стабильностьо-минимальностьlinearly ordered setindependence propertyunaro-stabilityo-minimalityРабота выполнена при финансовой поддержке Комитета науки МНВО РК, грант № AP22685272.ReferencesPillay A., Steinhorn C. Definable sets in ordered structures.1 // Trans. Amer. Math. Soc. – 1986. – Vol. 295. – P. 565–592.Pillay A., Steinhorn C. (1986) Definable sets in ordered structures.1, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 295, pp. 565–592.Байжанов Б.С., Вербовский В.В. Упорядоченно стабильные теории // Алгебра и логика. – 2011. – Т. 50. – № 3. – С. 303–325.Bajzhanov B.S., Verbovskij V.V. (2011) Uporjadochenno stabil'nye teorii. Algebra i logika, vol. 50, no. 3, pp. 303–325 [in Russian].Verbovskiy V.V. O-Stable Ordered Groups // Siberian Advances in Mathematics. – 2012. – Т. 22. – No. 1. – С. 50–74.Verbovskiy V.V. (2012) O-Stable Ordered Groups. Siberian Advances in Mathematics, , vol. 22, no. 1, pp. 50–74.Verbovskiy V.V. On ordered groups of Morley o-rank 1. // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2018. – V. 15 – P. 314–320.Verbovskiy V.V. (2018) On ordered groups of Morley o-rank 1. Siberian Electronic Mathematical Reports, vol. 15, pp. 314–320.Dauletiyarova A.B., Verbovskiy V.V. Piecewise monotonicity for unary functions in o-stable groups // Algebra and Logic. – 2021. – V. 60. – No. 1. – P. 23–38.Dauletiyarova A.B., Verbovskiy V.V. (2021) Piecewise monotonicity for unary functions in o-stable groups. Algebra and Logic, vol. 60, no. 1, pp. 23–38.Verbovskiy V.V. On a classification of theories without the independence property // Mathematical Logic Quarterly. – 2013. – V. 59. – P. 119–124.Verbovskiy V.V. (2013) On a classification of theories without the independence property, Mathematical Logic Quarterly, vol. 59, pp. 119–124.Verbovskiy V.V. On definability of types and relative stability // Mathematical Logic Quarterly. – 2019. – V. 65. – P. 332–346.Verbovskiy V.V. (2019) On definability of types and relative stability. Mathematical Logic Quarterly, vol. 65, pp. 332–346.Вербовский В.В. Дп-минимальные и упорядоченно стабильные упорядоченные структуры // Математический журнал. – 2010. – Т. 10. – № 2 (36). – С. 35–38.Verbovskij V.V. (2010) Dp-minimal'nye i uporjadochenno stabil'nye upo-rjadochennye struktury, Matematicheskij zhurnal, vol. 10, no. 2 (36), pp. 35–38 [in Russian].Verbovskiy V.V., Yershigeshova A.D. On non-essentiality of an o-stable expansion of , Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2023. – V. 44. – P. 5485–5492. https://doi.org/10.1134/S1995080223120387.Verbovskiy V.V., Yershigeshova A.D. (2023) On non-essentiality of an o-stable expansion of, Lobachevskii Journal of Mathematics, vol. 44, pp. 5485–5492. doi.org/10.1134/S1995080223120387.Rubin M. Theories of linear orders // Israel Journ. Math. – 1974. – No. 17. – P. 392–443.Rubin M. (1974) Theories of linear orders, Israel Journ. Math., no. 17, pp. 392–443.Вербовский В.В., Ершигешова А.Д. Примеры линейных порядков с определяемой унарной функцией и свойством независимости // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2023. – Т. 20 (3). – С. 45–50.Verbovskij V.V., Ershigeshova A.D. (2023) Primery linejnyh porjadkov s opredeljaemoj unarnoj funkciej i svojstvom nezavisimosti, Vestnik Kazahstansko-Britanskogo tehnicheskogo universiteta, vol. 20, no. 3, pp. 45–50 [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.