kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2024-21-3-176-190kaz29-1380Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESОБ ОБОБЩЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ВЫПУКЛЫХ В НАПРАВЛЕНИИ И ТИПИЧНО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙON THE GENERALIZATION OF SOME CLASSES OF CONVEX IN DIRECTION AND TYPICALLY REAL FUNCTIONShttps://orcid.org/0000-0002-2278-2723МайерФ. Ф.MaiyerF. F.

канд. физ.-мат. наук, профессор 

г. Костанай 110000

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor 

Kostanay 110000

maiyer@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0003-1926-8958ТастановМ. Г.TastanovM. G.

канд. физ.-мат. наук, профессор 

г. Костанай 110000

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor 

Kostanay 110000

tastao@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-5143-0260УтемисоваА. А.UtemissovaA. A.

канд. пед. наук 

г. Костанай 110000

Candidate of Pedagogical Sciences 

Kostanay 110000

anar_utemisova@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0007-6594-7958ЫсмағұлР. С.YsmagulR. S.

канд. физ.-мат. наук, профессор 

г. Костанай 110000 

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor 

Kostanay 110000

ismagulr@mail.ruНАО «Костанайский региональный университет имени Ахмета Байтұрсынұлы»КазахстанNon-commercial joint-stock company «Akhmet Baitursynuly Kostanay Regional University»Kazakhstan202401102024213176190Copyright © Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Ысмағұл Р.С., 20242024Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Ысмағұл Р.С.Maiyer F.F., Tastanov M.G., Utemissova A.A., Ysmagul R.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1380

В статье М.О. Рида (M.O. Reade, Duke Math. Journal, 1956) с помощью условия |arg (f'(z)/ g'(z)) | ≤ γπ/2 , где g(z) – выпуклая функция,0≤γ≤1, введен класс функций, почти выпуклых порядка γ. В нашей статье вводится подкласс класса почти выпуклых порядка γ функций, удовлетворяющих условию |arg [(1-λzn ) f'(z)]| ≤ γπ/2, который при различных значениях параметров дает ряд известных подклассов однолистных функций. На базе данного подкласса построен класс почти звездообразных функций, содержащий целый ряд подклассов, активно исследуемых многими авторами в последние годы, а также классический класс типично вещественных функций. Для данных классов найдены, соответственно, теоремы искажения (роста) и радиусы выпуклости (звездообразности). Также рассмотрен случай, когда исследуемые функции имеют пропуски членов в разложении в ряд. Полученные результаты являются точными и не только обобщают ранее известные результаты, но и раскрывают свойства ряда новых подклассов однолистных функций.

In the article by M.O. Reade (Duke Math. Journal, 1956) using the condition |arg (f'(z)/ g'(z)) | ≤ γπ/2, where g(z) is a convex function,0≤γ≤1 , a class of functions close-to-convex (almost convex) of order γ is introduced. In our paper, we introduce a subclass of the class of close-to-convex (almost convex) order γ functions satisfying the condition |arg [(1-λzn ) f'(z)]| ≤ γπ/2, which, for different parameter values, gives a number of well-known subclasses of univalent (schlicht) functions. Based on this subclass, a class of close-to-starlike (almost star-shaped) functions is constructed, containing a number of subclasses that have been actively studied by many authors in recent years, as well as a classical class of typically real functions. For this classes exact theorems of distortion (growth) and radii of convexity (starlikeness) are obtained, generalizing previously known results. The case is also considered when the functions of the introduced classes have missing members in the power series expansion. The results obtained are accurate and not only generalize previously known results, but also reveal the properties of a number of new subclasses of univalent (schlicht) functions.

почти выпуклые функциипочти звездообразные функциитипично вещественные функцииоценки ростаоценки искажениярадиусы выпуклостирадиусы звездообразностиclose-to-convex (almost convex) functionsclose-to-starlike (almost star-shaped) functionstypically real functionsgrowth estimatesdistortion estimatesradii of convexityradii of starlikenessReferencesАвхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // УМН. – 1975. – Т. 30, вып. 4(184). – С. 3–60. https://www.mathnet.ru/links/e7c4d119db41755ee64c4677f4c40f9b/rm4232.pdf.Avkhadiev F.G., Aksent'ev L.A. (1975) The main results on sufficient conditions for an analytic function to be schlicht. Russian Mathematical Surveys, vol. 30, no. 4, pp. 1–63. https://www.mathnet.ru/links/1632ed8357df9ffe04ddeebedf7e40ba/rm4232_eng.pdf.Reade M.O. The coefficients of close-to-convex functions // Duke Math. J. – 1956. – Vol. 23. – No.3. – P. 459–462. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-56-02342-0.Reade M.O. (1956) The coefficients of close-to-convex functions. Duke Math. J., vol. 23, no. 3, pp. 459–462. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-56-02342-0.Hengartner W., Schober G. Analytic functions close to mappings convex in one direction // Proc. Amer. Math. Soc. – 1971. – Vol. 28. – No. 2. – P. 519–524. https://www.ams.org/journals/proc/1971-028-02/S0002-9939-1971-0277704-9/S0002-9939-1971-0277704-9.pdf.Hengartner W. and Schober G. (1971) Analytic functions close to mappings convex in one direction. Proc. Amer. Math. Soc., vol. 28, no. 2, pp. 519–524. https://www.ams.org/journals/proc/1971-028-02/S0002-9939-1971-0277704-9/S0002-9939-1971-0277704-9.pdfLecko A. The class of functions convex in the negative direction of the imaginary axis of order (α,β) // J. of the Austr. Math. Soc. – 2002. – Vol. 29. – No. 11. – P. 641–650. https://dx.doi.org/10.1155/S0161171202007810.Lecko A. (2002) The class of functions convex in the negative direction of the imaginary axis of order (α,β). J. of the Austr. Math. Soc., vol. 29, no. 11, pp. 641–650. doi: https://dx.doi.org/10.1155/S0161171202007810Майер Ф.Ф. Геометрические свойства некоторых классов аналитических в круге функций, выпуклых в направлении мнимой оси // Костанай. Вестник науки КГУ им. А. Байтурсынова. Серия ест.- техн. наук. – 2002. – Вып. 6. – № 2. – С. 48–50. https://repo.kspi.kz/bitstream/handle/123456789/7030/2002-6-2-page48-50.pdf?sequence=1&isAllowed=y.Maiyer F.F. (2002) Geometricheskie svojstva nekotoryh klassov analiticheskih v kruge funkcij, vypuklyh v napravlenii mnimoj osi. [Geometric properties of some classes of analytic functions in a circle in the direction of the imaginary axis]. Kostanaj. Vestnik nauki KGU im. A. Bajtursynova. Serija estestvennotehnicheskih nauk, vol. 6, no. 2, pp. 48–50. https://repo.kspi.kz/bitstream/handle/123456789/7030/2002-6-2-page48-50.pdf?sequence=1&isAllowed=y. [In Russian].Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Байманкулов А.Т. Об обобщении некоторых классов почти выпуклых и типично вещественных функций // Вестник ТГУ, Серия «Математика и механика», Томск. – 2023. – № 84. – С. 147–156. https://cyberleninka.ru/article/n/ob-obobschenii-nekotoryh-klassovpochti-vypuklyh-i-tipichno-veschestvennyh-funktsiy/viewer.Maiyer F.F., Tastanov M.G., Utemisova A.A. and Baimankulov A.T. (2023) Ob obobshhenii nekotoryh klassov pochti vypuklyh i tipichno veshhestvennyh funkcij [On the generalization of some classes of closeto-convex and typically real functions]. Zhurnal «Vestnik TGU», serija «Matematika. Mehanika», Tomsk, no. 80, pp. 147–156. [In Russian]. https://cyberleninka.ru/article/n/ob-obobschenii-nekotoryh-klassov-pochtivypuklyh-i-tipichno-veschestvennyh-funktsiy/viewerReade M.O. On close-to-close univalent functions // Michigan Math. J. – 1955. – No. 3. – P. 59–62. https://doi.org/10.1307/mmj/1031710535.Reade M.O. (1955) On close-to-close univalent functions. Michigan Math. J., no. 3, pp. 59–62.Khatter K., Lee S. K., Ravichandran V. Radius of starlikeness for classes of analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11744. – 2020. doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11744.Khatter K., Lee, S. K. and Ravichandran V. (2020) Radius of starlikeness for classes of analytic functions. arXiv preprint arXiv:2006.11744. doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11744.Sebastianc A., Ravichandran V. Radius of starlikeness of certain analytic functions // Math. Slovaca 71. – 2021. – No. 1. – P. 83–104. https://doi.org/10.1515/ms-2017-0454.Sebastianc A. and Ravichandran V. (2021) Radius of starlikeness of certain analytic functions. Math. Slovaca, vol. 71, no. 1, pp. 83–104. https://doi.org/10.1515/ms-2017-0454.Kanaga R., Ravichandran V. Starlikeness for Certain Close-to-Star Functions // Hacet. J. Math. Stat. – 2021. – Vol. 50. – P. 104–118 2, 414–432. https://doi.org/ https://doi.org/10.15672/hujms.702703.Kanaga R. and Ravichandran V. (2021) Starlikeness for certain close-to-star functions. Hacet. J. Math. Stat., vol. 50, no. 2, pp. 414–432. https://doi.org/10.15672/hujms.702703.Sharma M., Jain N.K., Kumar S. Constrained radius estimates of certain analytic functions //arXiv:2305.16210v1 [math.CV] – 2023.Sharma M., Jain N.K. and Kumar S. (2023) Constrained radius estimates of certain analytic functions. arXiv:2305.16210v1/El-Faqeer A.S.A., Mohd M.H., Ravichandran V., Supramaniam S. Starlikeness of certain analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11734, 2020 arxiv.org. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11734.El-Faqeer A.S.A., Mohd M.H., Ravichandran V. and Supramaniam S. (2020). Starlikeness of certain analytic functions. arXiv preprint arXiv:2006.11734. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11734.Rogosinski W. Über positive harmonische entwicklungen und typisch-reelle potenzreihen // Math. Zeitschr. – 1932. – Vol. 35. – No. 1. – P. 93–121. https://doi.org/10.1007/BF01186552.Rogosinski W. (1932) Über positive harmonische entwicklungen und typisch-reelle potenzreihen. Math. Zeitschr., vol. 35, no. 1, pp. 93–121. https://doi.org/10.1007/BF01186552.Голузин Г.М. О типично вещественных функциях // Матем. сб. – 1950. – Вып. 27. – №. 69. – С. 201–218. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5913&option_lang=engGoluzin G.M. (1950) On typically real functions. Matem. sb., vol. 27, no. 69, 201–2018. [In Russian]. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5913&option_lang=engГельфер С.А. Типично вещественные функции // Матем. сб. – 1964. – Т. 106. – № 2. – С. 171–184. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=4441&option_lang=rus.Gelfer S.A. (1964) Tipichno veshhestvennye funkcii [Typically real functions]. Matem. sb., 64(106):2, 171–184. https://www.mathnet.ru/rus/sm4441. [In Russian]Noshiro K. On the theory of schlicht functions // J. Fac. Sci. Hokkaido Imp. Univ. Ser. I Math. – 1934. – Vol. 2. – No. 3. – P. 129–155. https://doi.org/10.14492/hokmj/1531209828.Noshiro K. (1934) On the theory of schlicht functions. J. Fac. Sci. Hokkaido Imp. Univ. Ser. I Math., vol. 2, no. 3, pp. 129–155. https://doi.org/10.14492/hokmj/1531209828Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин – М.: Наука, 1966. – 628 с.Goluzin G.M. (1966) Geometricheskaya teoriya funktsiy kompleksnogo peremennogo [Geometric Theory of Functions of a Complex Variable]. Moscow, Nauka Publ., 628 p. [In Russian].MacGregor T.H. Functions whose derivative has a positive real part // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – № 104. – P. 532–537. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1962-0140674-7.MacGregor T.H. (1962) Functions whose derivative has a positive real part. Trans. Amer. Math. Soc., no. 104, pp. 532–537. https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1962-0140674-7.Shaffer D.B. Distortion theorems for a special class of analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – Vol. 39. – No. 2. – P. 281–287. https://doi.org/10.2307/2039632.Shaffer D.B. (1973) Distortion theorems for a special class of analytic functions. Proc. Amer. Math. Soc., vol. 39, no. 2, pp. 281–287. https://doi.org/10.2307/2039632.Libera R.J. Some radius of convexity problems // Duke Math. J. – 1964. –Vol. 31. – No.1. – P. 143–158. https://10.1215/S0012-7094-64-03114-X.Libera R.J. (1964) Some radius of convexity problems. Duke Math. J., vol. 31, no. 1, pp. 143–158. https://10.1215/S0012-7094-64-03114-X.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.