kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2024-21-3-147-157kaz29-1376Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESФАКТОРИЗАЦИЯ И ЕДИНООБРАЗНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ НА ОДНОРОДНЫХ ГРУППАХ ЛИFACTORIZATIONS AND UNIFIED HARDY INEQUALITIES ON HOMOGENEOUS LIE GROUPShttps://orcid.org/0000-0002-2049-2984АпсеитК.ApseitK.

магистр 

040900, Каскелен;050010, г. Алматы

Master 

040900, Kaskelen;050010, Almaty

kuralay.apseit@sdu.edu.kzhttps://orcid.org/0000-0002-2985-2288ЕсиркегеновН.YessirkegenovN.

PhD 

050010, г. Алматы

PhD 

050010, Almaty

nurgissa.yessirkegenov@gmail.comУниверситет СДУ; Институт математики и математического моделированияКазахстанSDU University; Institute of Mathematics and Mathematical ModelingKazakhstanУниверситет КИМЭПКазахстанKIMEP UniversityKazakhstan202401102024213147157Copyright © Апсеит К., Есиркегенов Н., 20242024Апсеит К., Есиркегенов Н.Apseit K., Yessirkegenov N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1376

В этой работе мы получаем неравенства Харди и критические неравенства Харди с любой однородной квазинормой единым способом. На самом деле мы показываем формулу точного остатка для этих результатов. В частности, наше тождество подразумевает соответствующие неравенства Харди и критические неравенства Харди с любой однородной квазинормой для оператора радиальной производной, что дает улучшенные версии соответствующих классических аналогов. Более того, мы обсуждаем расширение этих результатов в контексте однородных групп Ли Фолланда и Штейна. Такая более общая постановка удобна для обобщения результатов гармонического анализа, зависящих только от групповой и расширяющих структур, что является одной из наших мотиваций при работе в этой среде. Наш подход основан на методе факторизации дифференциальных операторов, предложенном Гестези и Литтлджоном. В качестве приложения мы показываем неравенства типа Каффарелли-Кона-Ниренберга с более общим весом. Благодаря свободе выбора с любой однородной квазинормы наши результаты уже дают значительные преимущества, так как они применимы как к анизотропному пространству ℝn , так и к изотропному пространству ℝn.

In this note we obtain Hardy and critical Hardy inequalities with any homogeneous quasi-norm in unified way. Actually, we show a sharp remainder formula for these results. In particular, our identity implies corresponding Hardy and critical Hardy inequalities with any homogeneous quasi-norm for the radial derivative operator, thus yielding improved versions of corresponding classical counterparts. Moreover, we discuss extensions of these results in the setting of Folland and Stein’s homogeneous Lie groups. Such a more general setting is convenient for the distillation of those results of harmonic analysis depending only on the group and dilation structures, which is one of our motivations working in the setting. Our approach based on the factorization method of differential operators introduced by Gesztesy and Littlejohn. As an application, we show Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities with more general weight. Because of the freedom in the choice of any homogeneous quasi-norm, our results give new insights already in both anisotropic ℝn and isotropic ℝn . 

метод факторизациинеравенство Хардиоднородная группа Лиfactorization methodHardy inequalityhomogeneous Lie groupThis research is funded by the Committee of Science of the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of Kazakhstan (Grant No. AP14871691).ReferencesBalinsky A.A., Evans W.D., Lewis, R.T. The analysis and geometry of Hardy's inequality, vol. 1, 2015, Cham: Springer.Balinsky A.A., Evans W.D., Lewis, R.T. The analysis and geometry of Hardy's inequality, vol. 1, 2015, Cham: Springer.Kufner A., Maligranda L., Persson L. E. The Hardy inequality: About its history and some related results, 2007, Vydavatelský servis.Kufner A., Maligranda L., Persson L. E. The Hardy inequality: About its history and some related results, 2007, Vydavatelský servis.Kufner A., Persson L.E., Samko N. Weighted inequalities of Hardy type. Second edition, 2017.Kufner A., Persson L.E., Samko N. Weighted inequalities of Hardy type. Second edition, 2017.Opic B., Kufner A. Hardy-Type Inequalities, Pitman Research Notes in Mathematics Series, vol. 219, 1990, Longman Scientific & Technical, Harlow.Opic B., Kufner A. Hardy-Type Inequalities, Pitman Research Notes in Mathematics Series, vol. 219, 1990, Longman Scientific & Technical, Harlow.Ruzhansky M., Suragan D. Hardy inequalities on homogeneous groups: 100 years of Hardy inequalities, p. 571, 2019, Springer Nature (open access book).Ruzhansky M., Suragan D. Hardy inequalities on homogeneous groups: 100 years of Hardy inequalities, p. 571, 2019, Springer Nature (open access book).Gesztesy F., Littlejohn L.L. Factorizations and Hardy-Rellich-type inequalities. Non-linear partial differential equations, mathematical physics, and stochastic analysis, pp. 207–226, 2018, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc., Zürich, 186–1.Gesztesy F., Littlejohn L.L. Factorizations and Hardy-Rellich-type inequalities. Non-linear partial differential equations, mathematical physics, and stochastic analysis, pp. 207–226, 2018, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc., Zürich, 186–1.Gesztesy F. On non-degenerate ground states for Schrödinger operators. Reports on mathematical physics, vol. 20(1), pp. 93–109, 1984.Gesztesy F. On non-degenerate ground states for Schrödinger operators. Reports on mathematical physics, vol. 20(1), pp. 93–109, 1984.Gesztesy F., Pittner L. A generalization of the virial theorem for strongly singular potentials. Reports on Mathematical Physics, vol.18(2), pp. 149–162, 1980.Gesztesy F., Pittner L. A generalization of the virial theorem for strongly singular potentials. Reports on Mathematical Physics, vol.18(2), pp. 149–162, 1980.Gesztesy F., Littlejohn L.L., Michael I., Pang M.M. Radial and logarithmic refinements of Hardy’s inequality. St. Petersburg Math. J, vol. 30(3), pp. 429–436.Gesztesy F., Littlejohn L.L., Michael I., Pang M.M. Radial and logarithmic refinements of Hardy’s inequality. St. Petersburg Math. J, vol. 30(3), pp. 429–436.Ruzhansky M., Yessirkegenov N. Factorizations and Hardy–Rellich inequalities on stratified groups. Journal of Spectral Theory, vol. 10(4), pp. 1361–1411, 2020.Ruzhansky M., Yessirkegenov N. Factorizations and Hardy–Rellich inequalities on stratified groups. Journal of Spectral Theory, vol. 10(4), pp. 1361–1411, 2020.Folland G.B., Stein E.M. Hardy spaces on homogeneous groups, volume 28 of Mathematical Notes. Princeton University Press, Princeton, N.J., University of Tokyo Press, Tokyo, 1982.Folland G.B., Stein E.M. Hardy spaces on homogeneous groups, volume 28 of Mathematical Notes. Princeton University Press, Princeton, N.J., University of Tokyo Press, Tokyo, 1982.Fischer V., Ruzhansky M. Quantization on nilpotent Lie groups, vol. 314 of Progress in Mathematics. Birkh ̈auser, 2016 (open access book).Fischer V., Ruzhansky M. Quantization on nilpotent Lie groups, vol. 314 of Progress in Mathematics. Birkh ̈auser, 2016 (open access book).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.