В этой статье представлено всестороннее исследование классификации квадратичных иррациональных чисел со вторым периодом в их представлениях непрерывной дроби. Основываясь на фундаментальных результатах теории чисел, особенно в контексте цепных дробей и уравнения Пелла, исследование раскрывает сложные взаимосвязи между квадратичными иррациональными числами и их периодическими структурами. Основным объектом исследования является √N и свойства его цепных дробей. Хотя хорошо известно, что непрерывные дроби √N являются периодическими, а периодическая часть является палиндромом, распределение длин периодических частей далеко не полное. Нашей главной целью будет сосредоточиться на втором периоде и предоставить полную характеристику. Доказанные теоремы исследования разъясняют условия, при которых длина периода равна ровно двум, и дают представление о лежащих в основе алгебраических особенностях. Кроме того, он углубляется, предлагая численный анализ и иллюстрации, демонстрирующие распределение длин периодов среди квадратичных иррациональных чисел. Это исследование открывает новые пути для будущих исследований квадратичных иррациональных чисел и того, как они отображаются в виде непрерывных дробей.