kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2024-21-2-170-180kaz29-1264Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESМЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПОДСТАНОВОК ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ПОЛЯ И ИХ ЛИНЕЙНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКАMETHODS FOR CONSTRUCTING PERMUTATIONS OF AN ARBITRARY FINITE FIELD AND THEIR LINEAR CHARACTERISTICShttps://orcid.org/0000-0002-0591-2143ТурусбековаУ. К.TurusbekovaU. K.

PhD

010000, г. Астана

PhD

010000, Astana

umut.t@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-8435-7773АлтынбекС. А.AltynbekS. A.

010000, г. Астана

010000, Astana

serik_aa@bk.ruУчреждение «Esil University»КазахстанInstitution «Esil University»KazakhstanКазахский университет технологии и бизнесаКазахстанKazakh University of Technology and BusinessKazakhstan202402072024212170180Copyright © Турусбекова У.К., Алтынбек С.А., 20242024Турусбекова У.К., Алтынбек С.А.Turusbekova U.K., Altynbek S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1264

Подстановки в конечном поле (биективные преобразования) активно изучаются во многих приложениях, в том числе и в теории защиты информации. Подстановки часто используются в качестве элементов для построения узлов обработки информации. В середине XX века К. Шеннон теоретически обосновал основные требования к отображениям, осуществляемым на таких узлах. В настоящее время при построении биективных преобразований эти требования обеспечиваются композицией нелинейных представлений, заданных таблицей в поле GF(2). Представленная статья обобщает результаты работы [1] о методах увеличения размерности стационарных функциональных систем. Именно в данной работе исследованы подходы к построению новых подстановок из исходных подстановок в конечном поле. Для построенных подстановок вычислена линейная характеристика. Задача построения подстановок, заданных координатными функциями, является сложной. Актуальность темы статьи определяется необходимостью поиска новых, теоретически обоснованных методов построения классов подстановок в многомерных пространствах, обладающих требуемыми комбинаторно-алгебраическими свойствами. В работе рассмотрено несколько методов построения подстановок конечных полей из исходных подстановок, действующих на векторы меньшей размерности. В бинарном случае это позволяет найти нелинейность рассматриваемых подстановок, характеризующих сродство линейных комбинаций координатных функций подстановок ко всему классу аффинных функций. Результаты представленной работы несколько расширяют возможности построения подстановок для произвольного конечного поля.

Permutations in a finite field (bijective transformations) are actively studied in many applications, including in information security theory. Permutations are often used as elements for building information processing nodes. In the middle of the 20th century, K. Shannon theoretically justified the basic requirements for mapping performed on such nodes. Currently, when constructing bijective transformations, these requirements are provided by the composition of nonlinear representations given by the table in the field GF(2). The presented paper summarizes the results of work [1] on methods for increasing the dimension of stationary functional systems. Namely, in this paper, approaches to the construction of new permutations from the initial permutations in the finite field are investigated. The linear characteristic is calculated for the constructed permutations. The problem of constructing permutations given by coordinate functions is difficult. The relevance of the topic of the paper is determined by the need to search for new theoretically sound methods for constructing s permutation classes in multidimensional spaces with the required combinatorial-algebraic properties. The paper considers several methods for constructing substitutions of finite fields from initial permutations acting on vectors of smaller dimension. In the binary case, this allows us to find the nonlinearity of the substitutions under consideration, characterizing the proximity of linear combinations of coordinate functions of permutations to the entire class of affine functions. The results of the presented work somewhat expand the possibilities of constructing permutations for an arbitrary finite field.

конечное полеподстановкалогические функциилинейная характеристикабиективное преобразованиеfinite fieldpermutationBoolean functionslinear characteristicbijective transformationReferencesНиконов В.Г., Саранцев А.В. Методы компактной реализации биективных отображений, заданных регулярными системами однотипных булевых функций // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Прикладная и компьютерная математика. – 2003. – Т. 2. – № 1. – С. 94–105.Nikonov V.G. and Sarantsev A.V. (2003). Metody kompaktnoy realizatsii biyektivnykh otobrazheniy, zadannykh regulyarnymi sistemami odnotipnykh bulevykh funktsiy, Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Seriya: Prikladnaya i komp'yuternaya matematika, vol. 2, no. 1, pp. 94–105 [in Russian].Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. – М.: Мир, 1988. – 822 c.Lidl R. and Niderrayter G. (1988) Konechnyye polya, Moscow, 822 p. [in Russian].Бугров А.Д. Кусочно-аффинные подстановки конечных полей // Прикладная дискретная математика. – 2015. – № 4 (30). – C. 5–23.Bugrov A.D. (2015) Kusochno-affinnyye podstanovki konechnykh poley, Prikladnaya diskretnaya matematika, no. 4 (30), pp. 5–23 [in Russian].Логачев О.А., Сальников А.А., Ященко В.В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. – М.: Изд-во МЦНМО, 2012. – 584 c.Logachev O.A., Sal'nikov A.A. and Yashchenko V.V. (2004) Bulevy funktsii v teorii kodirovaniya i kriptologii, Moscow, 584 p. [in Russian].Abornev A.V. Recursively-generated permutations of a binary space // Математические основы криптографии. – 2014. – Т. 5. – № 2. – С. 7–20.Abornev A.V. (2014) Recursively-generated permutations of a binary space, Matematicheskiye osnovy kriptografii, vol. 5, no. 2, pp. 7–20.Рожков М.И. Биективные отображения, порождаемые фильтрующим генератором // Прикладная дискретная математика. – 2014. – Т. 1. – № 23. – С. 27–39.Rozhkov M.I. (2014) Biyektivnyye otobrazheniya, porozhdayemyye fil'truyushchim generatorom, Prikladnaya diskretnaya matematika, no. 1(23), pp. 27–39 [in Russian].Blondeau C., Nyberg К. Perfect Nonlinear Functions and Cryptography // Finite Fields Appl. – 2015. – Т. 32. – С. 120–147.Blondeau C. and Nyberg К. (2015) Perfect Nonlinear Functions and Cryptography, Finite Fields Appl, no. 32, pp. 120–147.Li C.H. The finite primitive permutation groups containing an abelian regular subgroup // Proc. London Math. Soc., MR MR2005881 (2004i:20003) – 87. – 2003. – С. 725–747.Li C.H. (2003) The finite primitive permutation groups containing an abelian regular subgroup, Proc. London Math. Soc., MR MR2005881 (2004i:20003) – 87, pp. 725–747.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.