kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2024-21-2-127-138kaz29-1260Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ И РАДИУСЫ ВЫПУКЛОСТИ И ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЗВЕЗДООБРАЗНЫХ И ПОЧТИ ЗВЕЗДООБРАЗНЫХ ФУНКЦИЙEXACT ESTIMATES OF REGULAR FUNCTIONS AND RADII OF CONVEXITY AND STARLIKENESS OF SOME CLASSES OF STARLIKE AND CLOSE-TO-STARLIKE FUNCTIONShttps://orcid.org/0000-0002-2278-2723МайерФ. Ф.MaiyerF. F.

канд. физ.-мат. наук, профессор

г. Костанай, 110000

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor

Kostanay 110000

maiyer@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0003-1926-8958ТастановМ. Г.TastanovM. G.

канд. физ.-мат. наук, профессор

г. Костанай, 110000

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor

Kostanay 110000

tastao@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-5143-0260УтемисоваА. А.UtemissovaA. A.

канд. пед. наук

г. Костанай, 110000

Candidate of Pedagogical Sciences

Kostanay 110000

anar_utemisova@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0007-6594-7958ЫсмағұлР. С.YsmagulR. S.

канд. физ.-мат. наук, профессор

г. Костанай, 110000

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor

Kostanay 110000

ismagulr@mail.ruНАО «Костанайский региональный университет имени Ахмета Байтұрсынұлы»КазахстанNon-commercial joint-stock company «Akhmet Baitursynuly Kostanay Regional University»Kazakhstan202401072024212127138Copyright © Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Ысмағұл Р.С., 20242024Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Ысмағұл Р.С.Maiyer F.F., Tastanov M.G., Utemissova A.A., Ysmagul R.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1260

Известно, что многие задачи для подклассов однолистных функций могут быть преобразованы в задачи минимизации или максимизации некоторых функционалов, связанных с исследуемыми подклассами однолистных функций. Часто в качестве такого функционала выступает логарифмическая производная регулярных функций. В настоящей статье вводится двухпараметрический подкласс регулярных в единичном круге функций с положительной вещественной частью, разложение в ряд которых начинается с n-ной степени, обобщающий известный класс Р. Гоела и Д. Шаффера регулярных функций, значения которых содержатся в круге, симметричном относительно действительной оси, содержащем на границе точку 0. В указанном классе функций получены точные оценки различных функционалов, включая логарифмическую производную. В качестве приложений этих оценок найдены точные радиусы выпуклости (или звездообразности) различных классов звездообразных и почти звездообразных функций, заданных с использованием класса . Все полученные результаты являются точными и обобщают многие из ранее известных результатов. Применение полученных в статье оценок является перспективным, так как вносит вклад в теорию экстремальных задач, связанных с различными подклассами однолистных функций.

It is known that many problems for subclasses of univalent functions can be transformed into problems of minimizing or maximizing some functionals associated with the studied subclasses of univalent functions. Often, the logarithmic derivative of regular functions acts as such a functional. In this paper, we introduce a two-parameter subclass of functions regular in the unit circle with a positive real part, the expansion into a series of which begins with the nth degree. This class generalizes the well-known R.Goel and D.Shaffer class of regular functions whose values are contained in a circle symmetric with respect to the real axis containing the point 0 on the boundary. In this class of functions, exact estimates of various functionals, including the logarithmic derivative, are obtained. As applications of these estimates, the exact radii of convexity (or starlikeness) of various classes of starlike and close-to-starlike functions given using the class are found. All the results obtained are accurate and generalize many of the previously known results. The application of the estimates obtained in the article is promising, as it contributes to the theory of extreme problems associated with various subclasses of univalent functions.

оценки регулярных функцийоднолистные функциизвездообразные функциирадиус выпуклостирадиус звездообразностиestimates of regular functionsunivalent functionsstarlike functionsradius of convexityradius of starlikenessReferencesMacGregor T.H. A class of univalent functions // Trans. Amer. Math. Soc. – 1964. – № 15. – P. 311– 317.MacGregor, T.H. A class of univalent functions. Trans. Amer. Math. Soc., 15, 311-317 (1964).MacGregor T.H. Functions whose derivative has a positive real part // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – № 104.– P. 532–537. doi: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1962-0140674-7MacGregor, T.H. Functions whose derivative has a positive real part. Trans. Amer. Math. Soc., 104, 532–537 (1962). doi: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1962-0140674-7MacGregor T.H. The radius of univalence of certain analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. –1963. – № 14. – P. 514–520.MacGregor, T.H. The radius of univalence of certain analytic functions. Proc. Amer. Math. Soc., 14, 514–520 (1963).Goel R.M. A class of close-to-convex functions // Czechoslovak Math. J. –1968. – Vol. 18. – № 93. – P. 104–116. doi: https://doi.org/10.21136/CMJ.1968.100815Goel, R.M. A class of close-to-convex functions. Czechoslovak Math. J., 18(93), 104–116 (1968). doi: https://doi.org/10.21136/CMJ.1968.100815Shaffer D.B. Distortion theorems for a special class of analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – Vol. 39. – № 2. – P. 281–287. doi: https://doi.org/10.2307/2039632Shaffer, D.B. Distortion theorems for a special class of analytic functions. Proc. Amer. Math. Soc., 39(2), 281–287 (1973). doi: https://doi.org/10.2307/2039632Robertson M.S. Certain classes of starlike functions // Michigan Math. J. – 1985. – Vol. 32. – №2. – P. 135–140.Robertson, M.S. Certain classes of starlike functions. Michigan Math. J., 32(2), 135–140 (1985).Sokół J., Stankiewicz J. Radius of convexity of some subclasses of strongly starlike functions // Zeszyty Nauk. Politech. Rzeszowskiej Mat. – 1996. – № 19. – P. 101–105.Sokół, J. and Stankiewicz, J. Radius of convexity of some subclasses of strongly starlike functions. Zeszyty Nauk. Politech. Rzeszowskiej Mat., 19, 101–105 (1996)Janowski W. Extremal problems for a family of functions with positive real part and for some related families // Ann. Polon Math. – 1970. – Vol. 23. – P. 159–177.15.Janowski, W. Extremal problems for a family of functions with positive real part and for some related families. Ann. Polon Math., 23, 159–177. (1970)Abolfathi M.A. New subclasses of Ozaka’s convex functions // Int. J. Nonlinear Anal. Appl. – 2022. – P. 1–11. http://dx.doi.org/10.22075/ijnaa.2022.28231.4081Abolfathi, M.A. New subclasses of Ozaka’s convex functions. Int. J. Nonlinear Anal. Appl., 1–11 (2022). http://dx.doi.org/10.22075/ijnaa.2022.28231.4081Khatter K., Lee S. K., Ravichandran V. Radius of starlikeness for classes of analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11744. – 2020. doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11744Khatter, K., Lee, S. K. and Ravichandran, V. Radius of starlikeness for classes of analytic functions // arXiv preprint arXiv:2006.11744, (2020) doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11744Sebastianc A., Ravichandran V. Radius of starlikeness of certain analytic functions // Math. Slovaca 71. – 2021. –№ 1. – P. 83–104. doi: 10.1515/ms-2017-0454Sebastianc, A. and Ravichandran V.. Radius of starlikeness of certain analytic functions. Math. Slovaca 71, 1, 83–104 (2021). doi: 10.1515/ms-2017-0454Singh V., Goel R.M. On radii of convexity and starlikeness of some classes of functions // J. Math. Soc. Japan. – 1971. – № 23. – P. 323–339. doi: https://doi.org/10.2969/jmsj/02320323Singh, V. and Goel, R.M. On radii of convexity and starlikeness of some classes of functions. J. Math. Soc. Japan, 23, 323–339 (1971). doi: https://doi.org/10.2969/jmsj/02320323Reade M.O. On close-to-close univalent functions // Michigan Math. J. – 1955. – № 3. – P. 59–62.Reade, M.O. On close-to-close univalent functions. Michigan Math. J., 3, 59–62 (1955).MacGregor T.H. The radius of univalence of certain analytic functions, II // Proc. Am. Math. Soc. – 1963. – № 14. – P. 521–524. doi: http://dx.doi.org/10.1090/s0002-9939-1963-0148892-5MacGregor, T.H. The radius of univalence of certain analytic functions, II. Proc. Am. Math. Soc., 14, 521–524 (1963). doi: http://dx.doi.org/10.1090/s0002-9939-1963-0148892-5Chichra P. On the radii of starlikeness and convexity of certain classes of regular functions // J. of the Australian Math. Soc. – 1972. - Vol. 13. –№ 2. – P. 208–218. doi: https://doi.org/10.1017/S1446788700011290Chichra, P. On the radii of starlikeness and convexity of certain classes of regular functions. J. of the Australian Math. Soc., 13(2), 208–218 (1972). doi: https://doi.org/10.1017/S1446788700011290Майер Ф.Ф., Тастанов М.Г., Утемисова А.А., Байманкулов А.Т. Об обобщении некоторых классов почти выпуклых и типично вещественных функций // Вестник ТГУ, Серия «Математика и механика», Томск. – 2023. – № 84. – С. 147–156. doi: 10.17223/19988621/85/1Maiyer F.F., Tastanov M.G., Utemisova A.A. and Baimankulov A.T. Ob obobshhenii nekotoryh klassov pochti vypuklyh i tipichno veshhestvennyh funkcij [On the generalization of some classes of close to-convex and typically real functions]. Zhurnal «Vestnik TGU», serija «Matematika. Mehanika», Tomsk, 80, 147–156 (2023). (in Russian) doi: 10.17223/19988621/85/1Nunokawa M., Sokół J. On the order of strong starlikeness and the radii of starlikeness for of some close-to-convex functions // Analysis and Mathematical Physics. – 2019. – № 9. – P. 2367–2378. doi: https://doi.org/10.1007/s13324-019-00340-–8Nunokawa, M. and Sokół, J. On the order of strong starlikeness and the radii of starlikeness for of some close-to-convex functions. Analysis and Mathematical Physics, 9, 2367–2378 (2019). doi: https://doi.org/10.1007/s13324-019-00340-8Ali R.M., Ravichandran V., Sharma K. Starlikeness of analytic functions with subordinate ratios // Hindawi J. of Math., 2021, Article ID 8373209. – P. 1–8. https://doi.org/10.1155/2021/8373209Ali, R.M., Ravichandran, V. and Sharma, K. Starlikeness of analytic functions with subordinate ratios. Hindawi J. of Math., Article ID 8373209, 1–8 (2021). https://doi.org/10.1155/2021/8373209Shah G.M. On the univalence of some analytic functions //Pacific J. Math. –1972. – Vol. 43. – № 1. – P. 239–250. doi: https://doi.org/10.2140/pjm.1972.43.239Shah, G.M. On the univalence of some analytic functions. Pacific J. Math., 43(1), 239–250 (1972). doi: https://doi.org/10.2140/pjm.1972.43.239Shaffer D.B. On bounds for the derivative of analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – № 37. – P. 517–520. doi: http://dx.doi.org/10.11568/kjm.2021.29.4.785Shaffer, D.B. On bounds for the derivative of analytic functions. Proc. Amer. Math. Soc., 37, 517–520 (1973). doi: http://dx.doi.org/10.11568/kjm.2021.29.4.785Paprocki E., Sokol J. The extremal problems in some subclass of strongly starlike functions // Zeszyty Nauk. Politech. Rzeszowskiej Mat. – 1996. –№ 20. – P. 89–94.Paprocki, E. and Sokół, J. The extremal problems in some subclass of strongly starlike functions. Zeszyty Nauk. Politech. Rzeszowskiej Mat., 20, 89–94 (1996).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.