докторант
г. Алматы, 050040
г. Алматы, 050010
doctoral student
Almaty, 050040
Almaty, 050010
В этой статье исследуется уравнение дробной диффузии, включающее дробную производную Капуто и дробный интеграл Римана-Лиувилля. Уравнение дополнено начальными и граничными условиями в области, определяемой интервалом 0<x<1 по пространственной переменной и 0<t<T по временной переменной. Дробные операторы определены строго, используя дробную производную Капуто порядка β и дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка α, где 0<α<β≤1. Основные результаты включают представление хорошо известных свойств, связанных с дробными операторами, и установлено единственное решение данной задачи. Ключевые выводы обобщены с помощью теоремы, которая обеспечивает явную форму решения. Решение выражается в виде ряда, включающего двухпараметрическую функцию Миттага-Леффлера и ортонормированные собственные функции оператора Штурма-Лиувилля. Доказана единственность решения, гарантирующая, что задача имеет единственное, четко определенное решение при определенных условиях для исходной функции. Кроме того, в статье вводятся и доказываются оценки, связанные с функцией Миттага-Леффлера, предоставляя оценки, имеющие решающее значение для анализа сходимости. Исследуется сходимость ряда и устанавливаются условия принадлежности решения определенному функциональному пространству. Демонстрируется единственное решение, подчеркивающее его необычность в рамках данной задачи. Непрерывность решения в указанной области подтверждается равномерной сходимостью ряда.
This article investigates a fractional diffusion equation involving Caputo fractional derivative and Riemann-Liouville fractional integral. The equation is supplemented by initial and boundary conditions in the domain defined by the interval by space 0<x<1 and interval by time 0<t<T. The fractional operators are defined rigorously, utilizing the Caputo fractional derivative of order β and the Riemann-Liouville fractional integral of order α, where 0<α<β≤1. The main results include the presentation of well-known properties associated with fractional operators and the establishment of the unique solution to the given problem. The key findings are summarized through a theorem that provides the explicit form of the solution. The solution is expressed as a series involving the two-parameter Mittag-Leffler function and orthonormal eigenfunctions of the Sturm-Liouville operator. The uniqueness of the solution is proven, ensuring that the problem has a single, well-defined solution under specific conditions on the initial function. Furthermore, the article introduces and proves estimates related to the Mittag-Leffler function, providing bounds crucial for the convergence analysis. The convergence of the series is investigated, and conditions for the solution to belong to a specific function space are established. The uniqueness of the solution is demonstrated, emphasizing its singularity within the given problem. Finally, the continuity of the solution in the specified domain is confirmed through the uniform convergence of the series.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.